Série entière, équation differentielle second ordre

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guillaumeibanez
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[Résolu] Série entière, équation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

Bonjour,

J'écris ce premier message sur ce forum en espérant avoir un petit coup de pouce sur un exercice de maths auquel je suis bloqué depuis le debut du weekend.
Voici la fonction :

$f(x) = \cos(\sqrt2 \arccos x)$
Je dois trouver le rayon de convergence et exprimer $f(x)$ avec $\Sigma$...

j'ai fonctionné en derivant deux fois, pour avoir un rapport entre $f$ et $f''$ :
$f''(x)= \frac{-2}{1-x²}*\cos(\sqrt2 \arccos x)$

donc : $\frac{1-x²}{2}*y'' + y = 0$

Ce qui donne : $\dfrac{1-x²}{2} \sum_{n=2}^\infty\n(n-1)a_nx^{n-2} + \sum_{n=0}^\infty a_{n}x^{n}= 0 $

Après avoir développé et mis tous les indices à $n=0$ voilà ce que je trouve :

$ \dfrac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty\ (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}$- $\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\ n(n-1)a_{n}x^{n}+ \sum_{n=0}^\infty\ a_{n}x^{n} = 0$

j'ai trouvé $a_0=0$ mais je ne suis pas sur

Et à partir de la...$(n+2)(n+1)a_{n+2} = -a_n(3-n²) $ pour $ n \ge 2$

J'essaye d'incrémenter mais je n'arrive pas à trouver quelque chose de logique...

Pourriez vous m'aider? Excusez moi c'est mon premier post sur le forum et également la première fois que j'utilise LaTeX et j'avoue que c'est plutôt sympa comme langage!!

Merci beaucoup,
Cordialement,
Guillaume
Dernière modification par guillaumeibanez le lundi 02 décembre 2013, 12:26, modifié 1 fois.

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

bonjour,

Je referais le calcul de la dérivée seconde, car il est faux...
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

Effectivement désolé c'est une faute d’écriture, voilà ce que je trouve pour la dérivé :
$ \frac{-(1-x²)}{2} * cos(\sqrt{2} Arccos x)$

merci beaucoup

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

Non, c'est faux.

Que vaut tout d'abord $f'(x)$ ? et ensuite, dérive correctement $f'$ pour avoir $f''$.

Au fait, que vaut ton rayon de convergence de cette fonction ?

PS : tu es en quelle cpge ? spe MP, PT ou autre ?
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

Tout d'abord merci beaucoup de répondre si rapidement! Je suis en deuxième année de prépa integrée à l'eseo après avoir fait un bac sti électronique :D
Voilà ce que je trouve pour la dérivée première :
$f'(x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-x²}} * sin(\sqrt{2} Arccos x)$
et pour la dérivée seconde :
$f''(x) = \frac{2}{1-x²} * cos(\sqrt{2} Arccos x)$

Encore merci!

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

OK;

Ton $f'$ est bon. Mais pas ton $f''$ : c'est un produit à dériver...
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

Effectivement c'était une grosse erreur, j'ai donc tout recommencé :
$f(x) = cos(\sqrt{2} Arccos x)$

$f'(x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-x²}} sin(\sqrt{2} Arccos x)$

$f''(x) = \frac{\sqrt{2}x}{(1-x²)^{3/2}} sin(\sqrt{2} Arccos x) + \frac{2}{1-x²} cos(\sqrt{2} Arccos x)$

Ce qui ferait donc si cette fois-ci ma dérivé est bonne : $f''(x) = \frac{x}{1-x²}f'(x) + \frac{2}{1-x²} f(x)$

Et donc sous forme d’équation différentielle : $y'' - \frac{x}{1-x²}y' - \frac{2}{1-x²} y = 0$

soit $(1-x²)y'' - xy' - 2y = 0$

Aller, je me lance en espérant que ce que j'ai fait avant soit bon :
$ (1-x²) \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^{n-2} - x \sum_{n=1}^{\infty} na_nx^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = 0 $
Je développe et je passe tout en $x^n$ :
$ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^n$ $ - \sum_{n=2}^{\infty} (n-1)a_{n-1}x^n - 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = 0 $

1er terme : $2a_2 - 2a_2 - a_1 -2a_0 = 0$ --> $ a_1 = -2a_0$
2ième terme : $6a_3 - 6a_3 -2a_2 -2a_1 = 0$ --> $ a_2 = -a_1 = 2a_0$


Voila!
Bonne soirée,
Cordialement

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

guillaumeibanez a écrit :
$f''(x) = \frac{\sqrt{2}x}{(1-x²)^{3/2}} sin(\sqrt{2} Arccos x) + \frac{2}{1-x²} cos(\sqrt{2} Arccos x)$


C'est plutôt un $-$ : $-\frac{2}{1-x²} cos(\sqrt{2} Arccos x)$
guillaumeibanez a écrit : Ce qui ferait donc si cette fois-ci ma dérivé est bonne : $f''(x) = \frac{x}{1-x²}f'(x) + \frac{2}{1-x²} f(x)$
il faut alors corriger le souci de signe. Sinon, le principe est OK

PS : pour vérifier, utilise un logiciel de calcul formel comme Xcas, par exemple.
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

J'avais entendu parler de ce logiciel, je vais essayer de le prendre en main!

J'ai corrigé l'erreur de signe et je trouve ceci : (j'ai tout mis en $x^n$ et tous les indices à 0 puisque de toute façon pour 0 et 1 les sommes faisaient 0 : n(n-1)...)

$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)a_nx^n - $ $ \sum_{n=0}^{\infty} na_nx^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = 0 $

Pour tout $n\ge0$ :

$(n+2)(n+1)a_{n+2} - (n² + 2n + 2)a_n = 0$
Soit $(n+2)(n+1)a_{n+2} = (n² + 2n + 2)a_n$

$a_2=a_0$

$a_3=\frac{5}{6}a1$

$a_4=\frac{10}{12}a_0$

$a_5=\frac{17}{20} * \frac{5}{6} a_1$

$a_6=\frac{26}{30} * \frac{10}{12}a0$

$a_7=\frac{37}{42} * \frac{17}{20} * \frac{5}{6} a_1$

$a_8=\frac{50}{56} * \frac{26}{30} * \frac{10}{12}a0$

AAaahh je vois enfin quelque chose : $\forall p, a_{2p+1} = \frac{???}{p!} x^p$ pour les impairs...
En revanche pour les pairs je ne vois rien..

On arrive bientôt à la fin de l'exercice, j'en profite en même temps pour vous demander si vous n'en auriez pas d'autres à me demander pour que je puisse m’entraîner?

Bonne soirée! :)

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

guillaumeibanez a écrit : $\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n - \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)a_nx^n - $ $ \sum_{n=0}^{\infty} na_nx^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = 0 $
il manque le 2 à la fin

guillaumeibanez a écrit : $(n+2)(n+1)a_{n+2} - (n² + 2n + 2)a_n = 0$
Non, tu as un erreur de signe au niveau des $a_n$.
guillaumeibanez a écrit : $a_2=a_0$
Edit : correction : Moi j'ai $a_2+a_0=0$.
guillaumeibanez a écrit :
$a_3=\frac{5}{6}a1$
Idem, ça se répercute ici.
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

En corrigeant, voilà ce qu'on trouve :
$(n+2)(n+1)a_{n+2}=(n²-2)a_n$

Avec $y(0)=cos(\frac{\Pi}{\sqrt2})=a_0$ et $y'(0)=\sqrt2sin(\frac{\Pi}{\sqrt2})=a_1$

alors à partir de la, j'ai testé n en faisant exprès de laisser tous les multiplicateurs pour essayer de "voir" quelque chose :
Pour l'instant seulement pour tous les nombres pairs :

$a_2=\frac{0²-2}{2*1}a_0$

$a_4=\frac{2²-2}{4*3} * \frac{0²-2}{2*1}a_0$

Et la, on arrive à trouver la relation pour les nombres pairs!! Sauf que j'ai plusieurs options je ne sais pas laquelle prendre.
$y=-2a_0\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\prod_{i=1}^{n-1} ((2i)²-2)}{(2n)!} x^{2p}$ ou bien... $y=a_0 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\prod_{i=0}^{n-1} (2-(2i)²)}{(2n)!}x^{2p}$

Et pour les impairs...
$y=a_1 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\prod_{i=0}^{n-1} (2-(2i+1)²)}{(2n+1)!}x^{2p+1}$

Voila!! La solution serait donc la somme des pairs + impairs + les 2 premiers termes $a_0$ et $a_1$ à ajouter.

Par rapport au rayon de convergence : L'Arccos est définie entre -1 et 1, donc R=1!

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

Bonjour,
guillaumeibanez a écrit : Sauf que j'ai plusieurs options je ne sais pas laquelle prendre
Je ne sais pas s'il y a une relation simple, mais le seul moyen de la démontrer, c'est par récurrence.
guillaumeibanez a écrit : Par rapport au rayon de convergence : L'Arccos est définie entre -1 et 1, donc R=1
Ceci n'est pas suffisant. Il faut vérifier à l'aide du critère de d'Alembert pour els séries numériques que le rayon obtenue pour ta série est bien non nul, et vaut $1$ :

$\dfrac{a_{n+2}x^{n+2}}{a_n x^n}=\dfrac{n^2-2}{(n+1)(n+2)}x^2\sim x^2$ Donc ta série numérique $\sum a_n x^n$ converge ssi $x^2<1$ dans pour $x\in]-1,1[$ et là, c'est OK.
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

Je crois que la relation que j'ai trouvé fonctionne, quand j'incrémente je retrouve bien les résultats que j'ai calculé :)

D'accord pour le rayon de convergence, dans ce cas là je vois bien.. Mais sinon j'ai encore des doutes pour le trouver...
Par exemple, un exercice qu'on a fait en cours : $f(x) = Arctan (\frac{sin \theta}{cos \theta -x})$ avec $ 0<\theta<{\frac{\Pi}{2}$
R=1, comment peut on le déterminer?
Et de manière générale?

Les séries entières c'est : on cherche un rayon de convergence, si il y en a un on essaye de l'étendre?

J'espère maîtriser pour de bon ce sujet pour essayer d'attaquer ensuite Fourier qui est super pratique en électronique!!

Merci pour toute l'aide!!!

Edit : On a Hadamard, D'Alembert et Cauchy pour trouver. Mais avec notre fonction de départ je ne vois pas comment dire que R=1 sans avoir fait tout notre développement...

kojak
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par kojak »

guillaumeibanez a écrit : Les séries entières c'est : on cherche un rayon de convergence, si il y en a un on essaye de l'étendre?
Ici, on cherche à résoudre une équa diff par une série entière. Donc on pose $f(x)=\sum a_nx^n$ , on dérive terme à terme pour avoir $f$ et $f''$.

On détermine alors la relation entre les $a_n$ et c'est avec celle ci qu'on détermine le rayon de convergence. Initialement, on n'en sait rien si le rayon ne va pas être nul ou combien il vaut.
guillaumeibanez a écrit : Edit : On a Hadamard, D'Alembert et Cauchy pour trouver.
Cauchy n'est plus au programme pour certaines cpge.
guillaumeibanez a écrit :Mais avec notre fonction de départ je ne vois pas comment dire que R=1 $f(x) = Arctan (\frac{sin \theta}{cos \theta -x})$
pour celle là, il suffit de regarder le domaine de définition, en particulier le souci au dénominateur.
Pas d'aide par MP.

guillaumeibanez
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Re: serie entiere equation differentielle second ordre

Message par guillaumeibanez »

OK, j'ai compris :)
Merci beaucoup! Je vais pouvoir mettre résolu à l'exercice et commencer les séries de Fourier.

Bon dimanche,
Cordialement :)