Simplicité et sous-groupe cyclique

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paspythagore
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Simplicité et sous-groupe cyclique

Message par paspythagore »

Bonsoir.
Encore quelques incompréhensions.
Je vous remercie de votre aide.
Soit $G$ un groupe d'ordre pair et $S$ un $2$-sous-groupe de Sylow. On suppose que $S$ est cyclique. Montrer que $G$ n'est pas simple.
On fait opérer $G$ sur lui même transitivement par translation :
$\forall x\in G, g\cdot x=gx$. Cette opération induit un homomorphisme de groupes $\varphi:G\to S_n$ où $n=|G|$.
Ecrivons $n)2^km$, où $m$ est un entier impair. Soit $s$ un générateur de $S$. Pour tout $g\in G$, l'orbite de $g$ est $\{g,sg,\cdots,s^{k-1}g\}$. Par conséquent, $\varphi(s)$ se décompose en produit de $m$ cycles disjoints de longueur $2^k$.
Cette opération induit un homomorphisme de groupes $\varphi:G\to S_n$
$\varphi(g)=g\cdot x$ A chaque $g\in G$, on associe un couple $g,x\in G^2$ ?
Par conséquent, $\varphi(s)$ se décompose en produit de $m$ cycles disjoints de longueur $2^k$.
Là, je suis perdu.

balf
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Re: simplicité et sous-groupe cyclique

Message par balf »

paspythagore a écrit :On fait opérer $G$ sur lui même transitivement par translation :
Vu le reste, à mon avis, on fait opérer les sous-groupe S sur G (il s'agit donc de la restriction de l'opération de G sur lui-même à S.
Pour la suite, je rectifie en conséquence.
$\forall x\in G, g\cdot x=gx$. Cette opération induit un homomorphisme de groupes $\varphi:S\to S_n$ où $n=|G|$.
Écrivons $n = 2^km$, où $m$ est un entier impair. Soit $s$ un générateur de $S$. Pour tout $g\in G$, l'orbite de $g$ est $\{g,sg,\cdots,s^{2^k-1}g\}$. Par conséquent, $\varphi(s)$ se décompose en produit de $m$ cycles disjoints de longueur $2^k$.
L'ensemble {g, sg, … , s$^\mathsf{2^k-1}$g}, non content d'être l'orbite de g sous l'action de S, correspond en même temps au cycle (g, sg, … , s$^\mathsf{2^k-1}$g). Chaque orbite correspond ainsi à un cycle, et l'ensemble des orbites à la décomposition en produit de cycles disjoints.

B.A.