Encore un theoreme de factorisation

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paspythagore
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Encore un theoreme de factorisation

Message par paspythagore »

Bonjour.
Décidément tout s'appelle théorème de factorisation ou théorème d'isomorphisme en Algèbre.
A moins que les théorèmes de factorisation ne soient, tous, que des variantes de la même notion qui n'est pas acquise pour moi.
Voici l’énoncé de celui que j'ai pour les groupes quotient par un groupe distingué.
Soit $G$ un groupe et $H \triangleleft G$ un sous-groupe distingué. Pour tout groupe $L$ et pour tout $\varphi\in Hom(G,L)$ tel que $\varphi(H)=\{e_L\}$, il existe un unique homomorphisme $\tilde{\varphi}\in Hom(G/H, L)$ tel que $\tilde{\varphi}\circ Cl=\varphi$.
L'application classe se définit ici entre quels ensembles ? $G\to G/H$
Quelle est la notion clef pour ce théorème et ses multiples variantes ?

balf
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Re: Encore un theoreme de factorisation

Message par balf »

Oui, c'est l'application G —> G/H qui à un élément g ∈G associe sa classe gH (ou g + H en notation additive).
Je ne sais pas ce que vous entendez par notion-clef. L'application de G/H dans L est définie pour une classe γ ∈G/H en choisissant un représentant g de cette classe et en associant φ(g) à γ. Naturellement, il faut vérifier que si on change de représentant, g' disons, on aura φ(g') = φ(g) pour que l'image de γ soit définie sans ambiguïté.

C'est la même problématique que pour définir addition et multiplication dans Z/nZ.

B.A.

paspythagore
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Re: Encore un theoreme de factorisation

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je n'arrive pas à comprendre cet exercice qui propose une application du théorème.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$.
Si $K$ est un sous-groupe de $G$, quel est le noyau de l'application $K\to KH/H$.
En déduire que : $$K/(K\cap H)\simeq KH/H$$
Le corrigé commence par montrer que $KH$ est un sous-groupe de $G$. La démonstration est simple mais je ne savais qu'il fallait la faire.
...Comme $H$ est distingué dans $G$, a fortiori, il est distingué dans $KH$
Puisque $HK$ est un sous-groupe de $G$ contenant $H$ ?
L'application $f$ définie par $f(k)=kH$ est alors un homomorphisme de groupe de $K$ dans $KH/H$.
Je ne saurai pas trouver ce morphisme qui paraît naturel et je ne comprends pas pourquoi dans $KH/H$ et pas dans $KH$.
Soit $k\in K$. Alors $f(k)=e_{KH/H}\Longleftrightarrow kH=H\Longleftrightarrow k\in H\cap K$.
Pourquoi $H$ est l'élément neutre de $KH/H$ ?
Le noyau de $f$ est donc $H\cap K$ et le théorème de factorisation nous fournit donc un isomorphisme :
$$\tilde{f}=K/(K\cap H)\to KH/H.$$
Je n'arrive pas à déduire du théorème de factorisation le dernier résultat.

balf
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Re: Encore un theoreme de factorisation

Message par balf »

paspythagore a écrit :Bonjour.
Je n'arrive pas à comprendre cet exercice qui propose une application du théorème.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$.
Si $K$ est un sous-groupe de $G$, quel est le noyau de l'application $K\to KH/H$.
En déduire que : $$K/(K\cap H)\simeq KH/H$$
Le corrigé commence par montrer que $KH$ est un sous-groupe de $G$. La démonstration est simple mais je ne savais qu'il fallait la faire.
Ça, ça dépend du niveau auquel on se place. En première année, ça ne fait pas partie des résultats de base. En master, si. Dans tous les cas, il faut faire allusion au résultat, à mon sens.
...Comme $H$ est distingué dans $G$, a fortiori, il est distingué dans $KH$
Puisque $HK$ est un sous-groupe de $G$ contenant $H$ ?
Oui.
L'application $f$ définie par $f(k)=kH$ est alors un homomorphisme de groupe de $K$ dans $KH/H$.
Je ne saurai pas trouver ce morphisme qui paraît naturel et je ne comprends pas pourquoi dans $KH/H$ et pas dans $KH$.
Il s'agit seulement d'associer à k sa classe modulo H. Ça ne va pas dans H parce que kH n'est pas un élément de KH, mais une partie de KH. En revanche, c'est bien un élément de KH/H.
Soit $k\in K$. Alors $f(k)=e_{KH/H}\Longleftrightarrow kH=H\Longleftrightarrow k\in H\cap K$.
Pourquoi $H$ est l'élément neutre de $KH/H$ ?
Oui. Dans tout groupe-quotient, l'élément neutre est le sous-groupe distingué par lequel on quotiente.
Le noyau de $f$ est donc $H\cap K$ et le théorème de factorisation nous fournit donc un isomorphisme :
$$\tilde{f}=K/(K\cap H)\to KH/H.$$
Je n'arrive pas à déduire du théorème de factorisation le dernier résultat.
Le noyau étant K ∩ H, on déduit de f l'application de K/K ∩ H dans KH/H, définie par
k(H ∩ K) (classe de K dans K/K ∩ H) |—> f(k) = k H (classe de K dans KH /H aussi bien que dans G/H)


B.A.