Différentielle et point fixe

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paspythagore
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Différentielle et point fixe

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je me bat toujours avec les différentielles.
Soit $f;\R^N\to\R^N$ une application de classe $C^1$; et $U$ un ouvert de $\R^N$. On suppose que $0$ appartient à $U$ et que $0$ est un point fixe de $f$.
Exprimer la différentielle de $f\circ f$ à l'aide de $Df$, d'abord en un point quelconque de $U$, puis en $0$.
D'aprés le théorème surla différentielle de la composée, on a :
$D(f\circ f)(a)=(Df\circ f(a))\circ Df(a)$

En $0$ : $D(f\circ f)(0)=(Df\circ f(0))\circ Df(0)=(Df(0))\circ Df(0)$, ce qui ne veut pas dire grand chose malgré les précisions que vous m'avez apportées sur un récent sujet.

balf
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Re: differentielle et point fixe

Message par balf »

C'est pourtant ça, hormis les notations peu rigoureuses : pour la première, il faudrait, plutôt que (Df f(a)), écrire
(Df f)(a)
(on ne peut composer l'application différentielle Df avec la constante f(a))
ou, si l'on préfère expliciter :
Df(f(a)).

De même, D(f∘ f)(0) = Df(0)∘ Df(0).
B.A.

paspythagore
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Re: differentielle et point fixe

Message par paspythagore »

Merci.
D'aprés le théorème surla différentielle de la composée, on a :
$D(f\circ f)(a)=(Df\circ f)(a)\circ Df(a)$

En $0$ : $D(f\circ f)(0)=Df(0)\circ Df(0)$, c'était donc ce que j'avais écrit. A part la partie intermédiaire.

$Df\circ f(a)$ n'a pas de sens parce qu'on ne peut pas composer $Df$ avec la constante $f(a)$.

$Df(0)\circ Df(0)$ a du sens parce que l'on compose bien deux fonctions, les applications linéaire continues qui sont la meilleure approximation de $f$ en $0$.

$Df(0)$ est une fonction que l'on peut noter $Df(0)(x)$ ou $Df(0)(h)$ pour prendre en compte la petite variation $h$ ?

balf
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Re: differentielle et point fixe

Message par balf »

C'est cela : Df(0) est l'application linéaire « différentielle de f en 0 » et elle prend au point h la valeur Qu'on peut note Df(0)(h) ou Df(0)·h (valeur approchée de l'accroissement de f(x), correspondant à l'accroissement h de la variable à partir de x = 0).

B.A.