Compacts, ouverts et fermés

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paspythagore
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Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

Bonjour.

Je vais réessayer de comprendre ces notions de boules ouvertes et fermées à travers cet exercice dont je n'ai pas la solution.
On note resp. $B(a,r)$ et $B_f(a,r)$ les boules ouvertes et fermées de centre $a$ et de rayon $r$. Soient $k$ et $N$ deux entiers strictement positifs, on considère $k$ points distincts $a_1,\cdots, a_k$ de $\R^N$. On définit, pour tout entier positif $n$, l'ensemble :
$$K_n=B_f(0,n+1)\setminus \ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big).$$

Démontrer que, pour tout entier $n$ l'ensemble $K_n$ est une partie compacte de $\R^N$.
Comme on est espace fini de $\R^N$, il faut montrer que $K_n$ est fermé, borné ou est ce que dans $\R^N$ fermé suffit ?

$B_f(0,n+1)$ est fermé et $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ est ouvert, donc $K_n$ est fermé.
Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que :
$$\forall n\geq n_0,\forall j\in\{1,\cdots,k\},B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)\subset B(0,n).$$
Il me semble assez bien voir "l'image". Si on fait croître suffisamment le rayon de $B(0,n)$ et diminuer celui de $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$, $B(0,n)$ va contenir $a_j$ et la boule $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$.

Dire que la boule $B(0,n)$ tend vers $\R^N$ et $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ tend vers $a_j$ me semble incorrect, même si c'est peut être l'idée.

Je ne sais pas comment faire.

tize
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par tize »

Bonsoir,
pour ta première question : il faut démontrer les deux, fermé et borné. Même en dimension finie on peut avoir un des parties fermées non bornées (et donc non compactes - par exemple une droite).
Pour la suite, tu peux montrer assez facilement qu'il existe un entier $n_0$ tel que $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,1\Big)\subset B(0,n_0)$. Qu'en est-il alors de $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\frac{1}{n+1}\Big)$ pour tout $n\geq n_0$?
Mes leçons d'agreg : http://agregorio.net

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je viens de m'apercevoir que mon message n'est pas parti.
Je n'arrive pas à montrer que $K_n$ est borné.
$K_0=B_f(0,1)\setminus\ds\bigcup_{j=1}^kB(a_j,1)$ est la borne inférieure car $K_n$ est croissante : $K_n\subset K_{n+1}$ car le rayon de de $B_f(0,n)$ augmente et ceux de $\ds\bigcup_{j=1}^kB(a_j,\dfrac{1}{n+1})$ diminuent.

Pour montrer que $K_n$ est majoré, je n'y arrive pas.
$\ds\lim_{n\to\infty}\Big(B_f(0,n+1)\setminus\ds\bigcup_{j=1}^k $ $ B(a_j,\dfrac{1}{n+1})\Big)=$ $\ds\lim_{n\to\infty}B_f(0,n+1)\setminus\{j\in[1,k],a_j\}$...

Je ne sais pas non plus comment faire pour démontrer $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,1\Big)\subset B(0,n_0)$

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

Kₙ est bien contenu dans une boule fermée de centre O, n'est-ce pas ?

Pour l'autre question : il suffit de montrer que chaque boule fermée B(a$_{\mathsf{j}}$, 1/n+1) est contenue dans une boule ouverte B(O, n₀) dès que n $\geqslant$ n₀.

On commence par remarquer que tous les a$_{\mathsf{j}}$ appartiennent à la boule fermée de rayon r si r $>$ max(a₁, … , aₖ). Il suffit alors de bien choisir r pour que, non seulement les a$_{\mathsf{j}}$ soient dans cette boule, mais aussi les boules fermées B(a$_{\mathsf{j}}$,1/n+1) soient entièrement contenues dedans.

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

balf a écrit :Kₙ est bien contenu dans une boule fermée de centre O, n'est-ce pas ?
Oui mais comment montrer que $K_n$ est fermé borné.

$B_f(0,n+1)$ est fermé et $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ est ouvert, donc $K_n$ est fermé.
balf a écrit :Pour l'autre question : il suffit de montrer que chaque boule fermée B(a$_{\mathsf{j}}$, 1/n+1) est contenue dans une boule ouverte B(O, n₀) dès que n $\geqslant$ n₀.

On commence par remarquer que tous les a$_{\mathsf{j}}$ appartiennent à la boule fermée de rayon r si r $>$ max(a₁, … , aₖ). Il suffit alors de bien choisir r pour que, non seulement les a$_{\mathsf{j}}$ soient dans cette boule, mais aussi les boules fermées B(a$_{\mathsf{j}}$,1/n+1) soient entièrement contenues dedans.

B.A.
On veut montrer que $\8forall n\geq n_0,B\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)\subset B(0,b_0)$.

$\forall j, a_j\in B_f(0,r), \ r>\text{max}(a_1,\cdots,a_k)$

Que signifie $r>\text{max}(a_1,\cdots,a_k)$ que $r$ est supérieur à la distance maximal entre 2 $a_j$ ?
Mais est on sûr d'englober le point $0$ ?


Décidément, je ne comprends pas cet exercice.

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

Je suis désolé, j'ai écrit un peu vite et ne me suis pas relu. En fait, on choisir r supérieur à la plus grande des normes ∥a₁∥, … ,∥aₖ∥. L'idée est de prendre une boule ouverte centrée en 0, qui contienne tous les aₖ, et même un peu plus, de façon à contenir non seulement aₖ, mais tout voisinage de aₖ pourvu qu'il soit assez petit.

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

oulala!
La norme d'une point ?
$||a_k||=d(0,a_k)$ ?

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

Oui, c'est cela.

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

On note resp. $B(a,r)$ et $B_f(a,r)$ les boules ouvertes et fermées de centre $a$ et de rayon $r$. Soient $k$ et $N$ deux entiers strictement positifs, on considère $k$ points distincts $a_1,\cdots, a_k$ de $\R^N$. On définit, pour tout entier positif $n$, l'ensemble :

$$K_n=B_f(0,n+1)\setminus \ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big).$$


Démontrer que, pour tout entier $n$ l'ensemble $K_n$ est une partie compacte de $\R^N$.
$B_f(0,n+1)$ est fermé et $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ est ouvert, donc $K_n$ est fermé.

$K_n\subset B_f(0,n+1)$ donc $K_n$ est bornée.

$K_n$ est borné fermé donc compact.
Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que :

$$\forall n\geq n_0,\forall j\in\{1,\cdots,k\},B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)\subset B(0,n).$$
$\forall j, a_j\in B_f(0,\text{max} \ (a_j))$

$B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subset B_f(0,\text{max} \ a_j+\dfrac{1}{n+1})$

$\exists n_0, n\geq n_0\Longrightarrow n>\text{max} \ a_j+1$ donc :

$\forall n\geq n_0,B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subset B_f(0,n)$.

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

Pou la première partie, c'est bon. Pour la seconde, c'est plus nébuleux. D'abord, pour la boule centrée à l'origine, le rayon devrait être max($\Vert\mathsf{a_i}\Vert) +\mathsf{\dfrac{1}{n+1}}$ (en identifiant point et vecteur).
Ensuite et surtout, je ne comprends pas comment vous déduisez l'existence du $\mathsf{n_0}$ : comment calculez-vous cet $\mathsf{n_0}$ ?

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

$\forall j, a_j\in B_f(0,\text{max} \ (a_j))$

$B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subset B_f(0,\text{max} \ \Vert a_j\Vert+\dfrac{1}{n+1})$

On prend $n_0=\text{max} \ \Vert a_j\Vert+1$ et :

$\forall n\geq n_0,B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subset B_f(0,n)$.

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

C'est presque ça : sauf que le max n'est pas forcément un entier. Il faut donc prendre max($\mathsf{\lceil\lVert a_j\rVert \rceil +1)$, ou tout entier supérieur à celui-ci.

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

Merci.

La question suivante est :
Démontrer qu'il existe un entier $n_1$ tel que pour tout $n\geq n_1$, l'ensemble $K_n$ est non vide.
Pour $n=0$, je ne sais pas si un fermé peut être recouvert par un ensemble fini de boule ouvertes ($k$ boules ouvertes). Pour moi :
$B_f(0,1)\setminus \ds\bigcup^k_{j=1}B(a_j,1)\neq\varnothing$

Il me semble, mais je ne sais pas le montrer que $\forall n\in \N, B_f(0,n)\setminus \ds\bigcup^k_{j=1}B(a_j,\dfrac{1}{n+1})\neq\varnothing$

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

Non, un fermé ne peut pas forcément être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes, mais un compact, oui. C'est même l'une des définitions d'un espace compact : de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Si K$\mathsf{_n}$ était non vide pour tout n, on ne poserait pas la question sous cette forme. Et pour n=0, il suffit de faire un dessin dans le plan pour voir que B$\mathsf{_f}$(0, 1), est la réunion de 4 boules ouvertes centrées en des points bien choisis du cercle-unité.

Ce qui se passe, c'est que si n est assez grand, les boules ouvertes centrées en les différents a$\mathsf{_j}$,parce que leur nombre est fixe, deviennent trop petites pour pouvoir recouvir B$\mathsf{_f}$(0,1).

B.A.

paspythagore
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par paspythagore »

Il faut donc simplement utiliser la question précédente :
$\forall n\geq n_0,B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subset B_f(0,n)$.

Dès que l'on a : $B_f(a_j,\dfrac{1}{n+1})\subsetneq B_f(0,n)$.
Par exemple pour $n_1=n_0+1$, $B_f(0,n)\setminus \ds\bigcup^k_{j=1}B(a_j,\dfrac{1}{n+1})\neq\varnothing$

balf
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Re: Compacts, ouverts et fermés

Message par balf »

On n'a pas besoin de la question précédente. Ce qui est en jeu, c'est seulement que les boules ouvertes centrées en les a$\mathsf{_j}$ sont de plus en plus petites (elles sont emboîtées les unes dans les autres). Par conséquent, si l'on prend n'importe quel x de K$\mathsf{_n}$ distinct des a$\mathsf{_j}$, il n'appartient à aucune de ces boules ouvertes si leur rayon est assez petit. On peut préciser à partir de que l rang n ce sera vrai, en fonction des différences x – a$\mathsf{_j}$.Et donc que K$\mathsf{_n}$ sera non vide.

B.A.