Groupes abéliens et facteurs invariants

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paspythagore
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Groupes abéliens et facteurs invariants

Message par paspythagore »

Bonjour.
Il reste quelques zones d'ombre sur ma compréhension de ces notions.
Déterminer à isomorphisme prés, les groupes abéliens d'ordre $8$ et $72$.
On explicitera leurs facteurs invariants.
Si $G$ est d'ordre $8$, c'est $2$-groupe. Les 3 possibilités sont : $\Z/8\Z$, $\Z/4\Z\times\Z/2\Z$ et $\Big(\Z/2\Z\Big)^3$.
Si $G$ est d'ordre $72$, alors $G\simeq G(2)\times G(3)$ avec $G(2)$ d'ordre $8$ et $G(3)$ d'ordre $9$.

Il y a deux possibilités pour $G(3)$ : $G(3)=\Z/9\Z$ ou $G(3)=\Z/3\Z\times\Z/3\Z$.

Il y a donc $8$ possibilités pour $G$ :

$\Z/8\Z\times\Z/9\Z\simeq\Z/72\Z$.
$\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$
$\Z/4\Z\times\Z/2\Z\times/9\Z\simeq\Z/36\Z\times\Z/2\Z$
$\Z/4\Z\times\Z/2\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z12\Z\times\Z/6\Z$
$(\Z/2\Z)^3\times\Z/9\Z\simeq\Z/18\Z\times\Z/2\Z\times\Z/2\Z$
$(\Z/2\Z)^3\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/6\Z\times\Z/6\Z\times\Z/2\Z$
Je ne comprends ce que veux dire : $\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$.
Il n'y a pas d"élément d'ordre $24$ dans le premier cas mais il y en a un dans le second.

De plus, il n'y a pas la réponse à la seconde question : On explicitera leurs facteurs invariants.

Est ce :
$\Z/72\Z$ : 72,
$\Z/24\Z\times\Z/3\Z$ : 24 et 3,
$\Z/36\Z\times\Z/2\Z$ : 36 et 2,
etc.

balf
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Re: Groupes abéliens et facteurs invariants

Message par balf »

paspythagore a écrit : Je ne comprends ce que veux dire : $\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$.
Il n'y a pas d"élément d'ordre $24$ dans le premier cas mais il y en a un dans le second.
Cela veut dire qu'on applique le théorème chinois aux deux premiers facteurs. D'autre part, l'élément (1,1,0) dans le produit de gauche ne serait un tout petit peu d'ordre (additif) 24 ?
De plus, il n'y a pas la réponse à la seconde question : On explicitera leurs facteurs invariants.
Est ce :
$\Z/72\Z$ : 72,
$\Z/24\Z\times\Z/3\Z$ : 24 et 3,
$\Z/36\Z\times\Z/2\Z$ : 36 et 2,
etc.
C'est bien cela. Remarquez toutefois qu'il s'agit d'une suite (finie). On énonce donc que, p. ex., la suite des facteurs invariants est (24, 3).

B.A.