[PCSI] Matrices

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Zouzou
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[PCSI] Matrices

Message par Zouzou »

Bonjour,

Je suis en PCSI et j'ai un DM de maths à faire pour la semaine prochaine. Il y a une question sur laquelle je bloque. Je ne vois pas du tout comment faire :
Pour toute matrice B appartenant à M3(R), on note C(B)={ M de M3(R) telle que BM=MB}. Montrer que si M est dans C(B), et M inversible, alors son inverse M-1 est encore un élément de C(B). On dit que l'ensemble C(B) est stable par passage à l'inverse.

J'espère que quelqu'un pourra me donne une piste pour amorcer ma démonstration ! Merci d'avance

kojak
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Re: DM de maths et matrices

Message par kojak »

Bonjour,

Indication : multiplier à gauche et à droite par $M^{-1}$ la relation $BM=MB$, ce qui est possible car $M$ est inversible.
Pas d'aide par MP.

Zouzou
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Re: DM de maths et matrices

Message par Zouzou »

Merci pour cette réponse.
C'est ce que j'avais commencé à faire, ça donnait M-1BM=BMM-1 mais normalement je vais me retrouver avec M-1BM=B ... J'ai pensé multiplier par la droite ensuite et montrer qu'on obtenait bien la même chose mais je ne suis pas très sûre d'aboutir de cette manière

kojak
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Re: DM de maths et matrices

Message par kojak »

Sais tu ce que tu dois montrer pour que $M^{-1}$ soit un élément de $C(B)$ ?
Pas d'aide par MP.

Zouzou
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Re: DM de maths et matrices

Message par Zouzou »

Je crois que je n'ai pas vraiment compris, non ... J'ai réussi à montrer la stabilité par combinaison linéaire, par produit mais là je ne comprends pas ..

kojak
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Re: DM de maths et matrices

Message par kojak »

Ton $C(B)$ est l'ensemble des matrices qui vérifient $BM=MB$, donc pour montrer que $M^{-1}$ est dans $C(B)$, il faut montrer quelle relation ?
Pas d'aide par MP.

Zouzou
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Re: DM de maths et matrices

Message par Zouzou »

ben qu'elle commute également avec B non ?

kojak
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Re: DM de maths et matrices

Message par kojak »

Oui, c'est à dire quelle relation ?

Et donc as tu réussi à résoudre ton souci ?
Pas d'aide par MP.

Zouzou
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Re: DM de maths et matrices

Message par Zouzou »

Oui je crois que j'ai trouvé quelque chose. J'ai multiplié par la matrice inverse de M à gauche d'abord, puis à droit et en simplifiant (ie) en égalant les MM-1 avec I3 j'obtiens M-1B=BM-1 !

Merci beaucoup de m'avoir aidé !
Bonne soirée :)

kojak
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Re: DM de maths et matrices

Message par kojak »

Ben oui, c'est bon.
kojak a écrit : Indication : multiplier à gauche et à droite par $M^{-1}$ la relation $BM=MB$, ce qui est possible car $M$ est inversible.
Pas d'aide par MP.