Ondes planes et impédance uniforme

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Noah
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Ondes planes et impédance uniforme

Message par Noah »

Bonjour à tous,

voilà je cherche désespérément la réponse à cette question : lorsqu'une onde est plane et progressive, on a $p=\rho_0 c v$ (dans mon cas ce sont des ondes acoustiques, donc décrites avec un champ de pression $p(\vec{r},t)$ et de vitesses $\vec{v}(\vec{r},t)$), avec $v$ la norme de $\vec{v}$, et $\rho_0 c$ un facteur dépendant du milieu. On dit que l'impédance $Z=p/v$ est uniforme. Dans tous les ouvrages d'acoustique que j'ai consultés (ou même traitant d'ondes en général), il semble évident pour tout le monde que la réciproque est vraie. Seulement voilà, je n'arrive pas à le démontrer.

Donc ce que je voudrais montrer est que si on a une relation de proportionnalité $p(\vec{r},t)=\alpha v(\vec{r},t)\ \forall \vec{r},t$ ($p$ et $v$ à remplacer éventuellement par les grandeurs correspondantes pour le type d'onde considéré), alors l'onde est plane.

En ce qui concerne l'acoustique, je travaille avec les relations suivantes :
- $\vec{v}=v\vec{n}$, $\vec{n}$ étant un vecteur unitaire dans la direction locale de propagation (ondes longitudinales) ;
- $\vec{v}$ est irrotationnel, donc découle d'un champ scalaire $\Phi$ : on pose $\Phi(\vec{0},0)=0$ et $\vec{v}=-\vec{\nabla}\Phi$ ;
- on a également $p=\rho_0 \partial_t \Phi$ (où $\partial_t \equiv \partial/\partial_t$) ;
- $\Phi$, ainsi que $p$ et $\vec{v}$, vérifie l'équation de d'Alembert $\nabla^2\Phi-\frac{1}{c^2}\partial_t\Phi=0$ ;
- on a $\vec{\nabla}p+\rho_0\partial_t\vec{v}=0$ et $\partial_t p+\rho_0 c^2 \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$ (ces relations présentent un certain degré de redondance avec les précédentes).

Pour mémoire, une onde est plane si ses fronts d'onde (surfaces d'égales valeurs pour toutes les grandeurs d'onde considérées) sont des plans parallèles. Dans ce cas la direction de propagation est uniforme : si on choisit l'axe des $x$ dans cette direction, on a $\vec{v}=v(x,t)\vec{u}_x$ d'où $\partial_x^2 v - \frac{1}{c^2}\partial_t^2 v=0$ dont la solution générale est donnée par $v(x,t)=v_+(ct-x)+v_-(ct+x)$. $p$ est de la même forme. Si l'on considère uniquement l'onde progressive $v_+$, la relation $\partial_t p + \rho_0 c^2 \vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$ donne $p_+ = \rho_0 c v_+$ (pour l'onde rétrograde $v_-$ on obtient la même relation au signe près). Mais qu'en est-il de la réciproque ? A-t-on toujours à faire à une onde plane progressive ou rétrograde si cette relation est vérifiée ? Ce fait semble communément admis mais je n'en trouve de démonstration nulle part.

J'ai essayé sans succès plusieurs approches. Le point central me semble être la caractérisation mathématique d'une onde plane : montrer que les surfaces iso-$p$ (ou iso-$v$ ou iso-$\Phi$) sont des plans. Pour moi c'est équivalent à dire que le champ $\Phi$ est à courbure nulle, donc que si on prend un petit vecteur $\overrightarrow{dr}=(dx,dy,dz)$ tel que $\overrightarrow{dr}\cdot\vec{\nabla}\Phi=0$, on doit toujours avoir $(\vec{dr}\cdot\vec{\nabla})^2\Phi=0$, où :

$$\displaystyle{(\vec{dr}\cdot\vec{\nabla})^2=\sum_i (dx_i)^2\partial_i^2 + 2\sum_{i<j} dx_idx_j\partial_{ij}^2}$$
(DL à l'ordre 2 de $\Phi$), avec $x_1,x_2,x_3=x,y,z$. D'après moi cela suffit pour que les surfaces iso-$\Phi$ soient des plans, car toutes les relations constitutives sont d'ordre au maximum 2.

Je partais du principe que si cette relation est vérifiée pour $\overrightarrow{dr}_1$ et $\overrightarrow{dr}_2$ distincts, non-nuls et orthogonaux à $\vec{\nabla}\Phi$, elle l'est pour tout $\overrightarrow{dr}\in(\vec{\nabla}\Phi)^\perp$, mais ce n'est même pas vrai car l'application $\vec{dr}\mapsto(\vec{dr}\cdot\vec{\nabla})^2$ n'est pas linéaire. En fait il faudrait une approche duale : $\Phi$ est vue comme une donnée et on fait varier $\overrightarrow{dr}$, mais je n'y arrive pas (il faudrait associer à $\Phi$ un champ d'opérateurs $\Psi$ qui en tout point de l'espace, associe à un vecteur $\overrightarrow{dr}$ le scalaire $\Psi(\overrightarrow{dr})=(\overrightarrow{dr}\cdot\vec{\nabla})^2\Phi$ ).

Je n'arrive pas à me représenter les opérateurs vectoriels usuels (divergence, rotationnel ...) en termes de courbure. J'ai beau tourner mes équations dans tous les sens, je n'arrive à rien. Pour simplifier, on peut à la rigueur supposer que les dépendances en $t$ sont sinusoïdales, puis utiliser le principe de superposition.

Dans une autre approche, on peut caractériser une onde plane par une direction de propagation uniforme : l'onde étant longitudinale, la direction de propagation est donnée par $\vec{n}=\vec{v}/\Vert\vec{v}\Vert$. On doit pouvoir montrer que sous l'hypothèse $p=\pm\rho_0 c\Vert\vec{v}\Vert$, cette fonction est indépendante de l'espace. En notant $v$ la norme de $\vec{v}$, j'ai abouti à la formule générale suivante, où l'hypothèse n'intervient pas :

$$\displaystyle{\partial_i\left(\frac{\vec{v}}{v}\right) = \frac{1}{v}\vec{v}\wedge(\partial_i\vec{v}\wedge\vec{v})\quad,\ i=x,y,z}$$
Pour que ces quantités soient nulles pour tout $i$, il faut donc que $\vec{v}$ soit colinéaire à chacun des vecteurs $\partial_i\vec{v}\wedge\vec{v}$, ce qui ne se peut que si ces vecteurs sont eux-mêmes colinéaires entre eux, donc si les $\partial_i\vec{v}$ sont coplanaires. On doit donc pouvoir exprimer linéairement un des $\partial_i\vec{v}$ en fonction des deux autres, ou plus synthétiquement avoir $(\partial_x\vec{v}\wedge\partial_y\vec{v})\cdot\partial_z\vec{v}=0$. C'est joli, j'ai l'impression de toucher au but, mais je tourne en rond ...

Qu'est-ce que vous en pensez ? Mon approche est-elle bonne, y en a-t-il une autre, plus astucieuse, que je n'ai pas vue ? Est-ce que cette réciproque est en fait évidente, ce qui expliquerait pourquoi dans tous les ouvrages on semble l'admettre (je cite : "loin de la source, on retrouve l'impédance en $\rho_0 c$, donc on a localement une structure d'onde plane" :? ) ? Je crois que je me suis un peu embrouillé, je ne pensais pas en me lançant sur un coin de table dans cette tentative de démonstration qu'elle serait si dure ...

Désolé pour la longueur de ce message.

PS. à la réflexion il ne me semble même pas évident que les équipotentielles sont aussi des surfaces iso-$p$ et iso-$v$, mais bon à la rigueur on pourra le vérifier a posteriori.

PS2. C'est Noël demain, j'ai été sage, pourvu qu'il m'apporte ma réponse :roll: