Fermeture et limite

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paspythagore
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Fermeture et limite

Message par paspythagore »

Bonjour.
J'essaie de démontrer la proposition suivante avec des indications fournies dans un cours.
Une partie $F$ de $X$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $l$ appartient à $F$.
Démonstration du sens direct :
Soit $F$ un ensemble fermé.
et $(x_n)$ une suite d'éléments qui converge vers $l\in X$ : $\ds\lim_{n\to\infty}=l$

On raisonne par l'absurde en supposant que $l\in X\setminus F$
$F$ est le complémentaire de l'ouvert $X\setminus F$.

On a alors $l\in B_o(x_0,r)$ avec $d(x_0,l)< r$ et $\exists B_o(l,r_1)\subset B_o(x_0,r)$

Je ne sais pas si ce que j'ai écrit est correct mais je n'arrive pas à conclure.
Il me faut appliquer la définition de la limite à suite $(x_n)_{n\in \N}$ à cette boule puis conclure que certains termes de la suite ne sont pas dans $F$.

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Pour comprendre, il faudrait savoir ce que sont r et r1 ici.

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

paspythagore a écrit :Bonjour.
J'essaie de démontrer la proposition suivante avec des indications fournies dans un cours.
Une partie $F$ de $X$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $l$ appartient à $F$.
Démonstration du sens direct :
Soit $F$ un ensemble fermé.
et $(x_n)$ une suite d'éléments qui converge vers $l\in X$ : $\ds\lim_{n\to\infty}=l$

On raisonne par l'absurde en supposant que $l\in X\setminus F$
$F$ est le complémentaire de l'ouvert $X\setminus F$.
Pour $r_1$, j'ai tenté d'utiliser le fait que comme $X\setminus F$ est un ouvert et que $l\in X\setminus F$, il existe une boule ouverte de centre $l$ (et ici de rayon $r_1$) incluse dans $X\setminus F$.
Il est peut être inutile de parler de $B_o(x_0,r)$, j'avais traduit un peu vite "un ouvert = une boule ouverte".
Du coup, pour les notations on va supprimer $r_1$ et ne parler que de $r$, qui sera le rayon de la boule ouverte de centre $l$ incluse dans l'ouvert $X\setminus F$.
On a alors $l\in X\setminus F$ et $\exists B_o(l,r)\subset X\setminus F$

Je ne sais pas si ce que j'ai écrit est correct mais je n'arrive pas à conclure.
Il me faut appliquer la définition de la limite à suite $(x_n)_{n\in \N}$ à cette boule puis conclure que certains termes de la suite ne sont pas dans $F$.

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Si n est assez grand, chacun des x_n est dans la boule ouverte. Or où sont-ils par ailleurs ?

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Je crois comprendre.
Tout les éléments de $(x_n)$ sont dans $F$, $l$ est dans $X\setminus F$.
Or $\ds\lim_{n\to\infty}x_n=l$ s'écrit aussi $\forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n\geq N, x_n\in B_o(l,\varepsilon)$.
Donc à partir d'un certain $n$, les $x_n$ sont dans $X\setminus F$, ce qui est impossible car $F\cap X\setminus F=\varnothing$.

Je ne sais pas écrire proprement la dernière ligne.

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

La boule B(l,ε) est contenue dans X \ F si ε est assez petit, puisque X \ F est un ouvert, donc B(l,ε) $\cap$ F = $\varnothing$. Et les x_n ne sont pas ubiques…

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Merci.
les $x_n$ ne sont pas ubiques…
Il faut dire "à partir d'un certain $n$ les termes de la suite $(x_n)$..." ?

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Du moins

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À partir d'un certain rang N
et non n. Personnellement, je me contente de dire que, si n est assez grand, …

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Merci.
L'autre sens maintenant.
Une partie $F$ de $X$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $l$ appartient à $F$.
Dire que pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $l$ appartient à $F$, c'est énoncer le théorème sur l'adhérence.
J'essaie de suivre les indications.
Ecrire la négation de la définition d'un ouvert
Si l'ouvert est $B_0(l,\varepsilon)=\{x\in X,d(l,x)>\varepsilon\}$, sa négation est :
$\{x\in X,d(l,x)\geq\varepsilon\}$ ($=E\setminus B_0(l,\varepsilon)$ ?)
Ceci fournit un point $l$ vérifiant une certaine propriété qui commence par "$\forall\varepsilon>0,\cdots$"
Si $x_0\notin B_0(l,\varepsilon), \forall\varepsilon>0,\forall x,\exists l\in\text{ quoi ?},d(l,x)\geq\varepsilon$
En appliquant cette propriété avec $\varepsilon=1/n$, construire la suite recherchée.
Pour $\varepsilon=\dfrac{1}{n},x\notin B_0(l,\dfrac{1}{n})\forall x\in X,\exists l,d(l-x)\geq\dfrac{1}{n}$
$l\in B_f(l,\dfrac{1}{n})$ ?

J'ai du m'égarer.

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Déjà, la négation d'une boule est un concept assez bizarre… Le complémentaire, je veux bien.

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Ce qui est demandé c'est "Ecrire la négation de la définition d'un ouvert".

Je comprenais la contraposée de "$x\in X,d(l,x)>\varepsilon$" et du coup, ben oui, le complémentaire de la boule $B_0(l,\varepsilon)=\{x\in X,d(l,x)>\varepsilon\}$

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Ce qu'il faut c'est traduire l'hypothèse que F n'est pas fermé, c.-à-d. que X \ F n'est pas ouvert : si un élément a appartient à X \ F (supposé non ouvert), c'est que … On parvient de la sorte à construire une suite d'éléments de F qui converge vers a, lequel n'est pas dans F, d'où la contradiction (en fait c'est la contraposée qu'on démontre).

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

si un élément a appartient à X \ F (supposé non ouvert), c'est que … $\exists x_n\in X\setminus F$ tel que $\forall\varepsilon>0,\exists N,n\geq N \Longrightarrow d(x_n,a)<\varepsilon$ ?

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Mais c'est quoi, x_n, dans cette histoire ?

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Ce sont les valeurs de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ pour les valeurs de $n\geq N$

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Quelle suite ? L'énoncé ne comporte pas de suite donnée.

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Je ne comprends pas.

Ce qu'il faut c'est traduire l'hypothèse que F n'est pas fermé, c.-à-d. que X \ F n'est pas ouvert : si un élément a appartient à X \ F (supposé non ouvert), c'est que … $a\notin F$

pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $a$ appartient à $F$.
Je pensais qu'il fallait prendre $a\notin F$ et comme $(x_n)_{n\in\N}$ converge vers $a$, alors :
$\forall\varepsilon>0,\exists N,n\geq N \Longrightarrow d(x_n,a)<\varepsilon$ et à partir du rang $N$, les valeurs de la suite appartiennent à $X \setminus F$, ce qui est contraire à l'hyppothèse.

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Mais, encore une fois, dans cette partie, aucune suite n'est donnée. L'énoncé de cette implication est que :
si toute suite d'éléments de F converge vers un élément de F, alors F est fermé.
Il faut montrer la contraposée : si F n'est pas fermé, on peut fabriquer une suite d'éléments de F qui converge vers un élément de X \ F. On suppose donc que F ne soit pas fermé, c.-à-d. que X \ F ne soit pas ouvert. Il faut commencer par traduire le fait que X \ F ne soit pas ouvert, c.-à-d. le fait qu'il ne soit pas voisinage de chacun de ses points.

B.A.

paspythagore
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Re: fermeture et limite

Message par paspythagore »

Il faut commencer par traduire le fait que X \ F ne soit pas ouvert, c.-à-d. le fait qu'il ne soit pas voisinage de chacun de ses points.
$U \text{ est ouvert }\Longleftrightarrow\forall\alpha\in U, \exists\alpha>0,B_0(a,\alpha)\subset U$

$X\setminus F\text{ n'est pas un ouvert }\Longleftrightarrow\exists a\in U,\forall\alpha>0,B_0(a,\alpha)\nsubseteq U$

balf
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Re: fermeture et limite

Message par balf »

Donc, cette boule ouverte contient un point de quel ensemble ?

B.A.