Birapport et sphère de Riemann

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paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$.
Si $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle de $\mathbb{S}$ alors $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in \R$
Si $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle $C$ de $\mathbb{S}$ alors pour toute transformation homographique $T$, l'ensemble $T(C)$ est un cercle de $\mathbb{S}$.
Je ne comprends dans quels ensembles est définie $T$.
On a tantôt $T:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$, tantôt $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$.
Je comprends bien que $\mathbb{S}\simeq\C\cup\infty$
Donc si on suppose $T(z_2)=0,T(z_3)=1,T(z_4)=\infty$, on a $T(C)=\overline{\R}$.
Là, on n'est plus sur la sphère mais dans $\C\cup\infty$ donc notre $T(C)$ est identifié à la droite réelle.
L'image d'un cercle (par $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$) passant par les pôles est une droite du plan complexe passant par l'origine.
Il en résulte que $T(z_1)=(z_1:z_2:z_3:z_4)\in T(C)=\overline{\R}$ et comme $T(z_4)=\infty$ et que $T$ est injective, la proposition est prouvée.
J'arrive presque à comprendre le raisonnement.
Mais géométriquement, cela veut dire que quel que soit le cercle de $\mathbb{S}$ passant par les pôles, son image par $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$ est toujours la droite réelle ?
Mais est que $T(\mathbb{S})=\C\cup\infty$ ?
Si oui, à partir de quel antécédent obtient on la droite imaginaire de $\C\cup\infty$ ?

balf
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par balf »

La sphère de Riemann $\mathbb S $ ou $ \mathbb C \cup \infty $ sont la même chose. La sphère (géométrique, plongée dans R³) que l'on projette stéréographiquement est ce qu'on note la sphère $\mathsf{S_2}$ ; c'est elle qui est homéomorphe à $ \mathbb C \cup \infty $. Et les transformations homographiques se passent toutes dans $ \mathbb C \cup \infty $.

Reprenez le raisonnement à partir de là.

B.A.

paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Merci.
encore une question avant de démarer.
On étudie donc : $T:\C\cup\infty\to\C\cup\infty$ et la propriété 'l'image par $T$ d'un cercle est un cercle" se passe dans ce cadre là ?
A quoi sert la sphére alors ?

balf
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par balf »

À mon avis, à donner une interprétation « intuitive » du plan (complexe) complété par un seul point à l'infini. Ce qui est naturel, c'est la plan complété par une droite à l'infini (un point à l'infini pour chaque direction) . C'est la différence entre P²(R) (plan projectif réel) et P¹(C) = $\mathbb S$ (droite projective complexe).

B.A.

paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Merci.
Vous me confirmer que la propriété 'l'image par $T$ d'un cercle est un cercle" doit être vue "$T:\C\cup\infty\to\C\cup\infty$"

balf
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par balf »

Absolument. Mais il faut comprendre que c'est compatible avec l'interprétation « en 3 d » sur la sphère S² : à T correspond une autre transformation de S² dans S², de façon que de diagramme suivant soit commutatif (en désignant par N le pôle nord de S², qui correspond à $\infty$ dans $\mathbb S $, et par p la projection stéréographique, prolongée par N $\mapsto \infty$) :
$$ \begin{array}{ccc} \mathsf{S^2 }} & \dashrightarrow & \mathsf{S^2} \\
p\downarrow\hphantom{p} &&\hphantom{p} \downarrow p\\
\mathbf{\mathsf{\textsf{\bfseries C}\cup\infty}} & \xrightarrow{\,\mathsf T\,} &\mathbf{\mathsf{\textsf{\bfseries C}\cup\infty}} \end{array} $$ Dans ce diagramme, la flèche en pointillés transforme aussi les (vrais) cercles de S² en cercles de S² — et la projection p les cercles de S² en cercles au sens large de C.

B.A.

paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Merci pour ces précisions.
Mon cerveau avance doucement sur ces notions.

Pour moi, au départ, $\mathbb{S}$ se situait dans $\R^3$. En fait c'est $\C\cup\infty$ ou son mouchoir tel que vous l'avez défini plus haut.
Du coup comprendre $S^2$ ou voir un cercle là dedans me pose un nouveau problème.

balf
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par balf »

??? Quel problème ? Il faut voir le « mouchoir » à la fois comme la sphère dans R³ et comme le plan complexe plus un point.

B.A.

paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Donc une droite de $\C\cup\infty$ peut être vue comme un cercle de $S^3$.
Comme $T(z_2), T(z_3)$ et $T(z_4)$ appartiennent à la même droite et que l'image d'un cercle par $T$ est un cercle. Le cercle image est ici la droite réelle de $\C\cup\infty$.

balf
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par balf »

C'est bien ça. Il s'agit bien entendu de la droite réelle complétée par le point à l'infini.

B.A.

paspythagore
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Re: birapport et sphère de Riemann

Message par paspythagore »

Et bien, encore une fois merci pour vos explications et votre patience.