Conditions de Cauchy Riemann

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paspythagore
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Conditions de Cauchy Riemann

Message par paspythagore »

Bonsoir.
J'essaie de regrouper les notions de dérivée, différentielle, dérivée partielle et matrice jacobienne complexe et j'ai beaucoup de mal à préciser plus ce que j'écris et à démontrer les équations de Cauchy.

Soit $f:\C\to\C$ avec $z=x+iy$ $x$ et $P(z)=P(x,y)$ les parties réelles de $z$ et $f(z)$, et $y$ et $Q(z)=Q(x,y)$ les parties imaginaires de $z$ et $f(z)$.

On a $\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$ et $ \dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}+i\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)}$

Si $f$ est $\C$-différentiable : $\dfrac{\partial f}{\partial x}+i\dfrac{\partial f}{\partial y}=0$ soit $\dfrac{\partial f}{\partial x}=-i\dfrac{\partial f}{\partial y}$ soit encore $\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial f}{\partial x}$

$f(z)=f(x+iz)=f(x,y)=P(x,y)+iQ(x,y)$

Mais comment arriver à $\dfrac{\partial P}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial Q}{\partial y}(x,y)$ et $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y)$ ?

balf
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Re: Conditions de Cauchy Riemann

Message par balf »

En remplaçant f par P + iQ, et en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres.

B.A.

paspythagore
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Re: Conditions de Cauchy Riemann

Message par paspythagore »

:oops: Merci.