Bilinéarité

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guillaumeibanez
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Re: Bilinéarité

Message par guillaumeibanez »

Alors dans ce cas :
$\phi_x (\frac{1}{\sqrt 2})(t) = \frac{1}{\sqrt 2}$
$\phi_x (cos(2\Pi t))(t) = cos(2\Pi x - 2\Pi t) = cos(2\Pi x)cos(2\Pi t) + sin(2\Pi x)sin(2\Pi t)$
et $\phi_x (sin(2\Pi t))(t) = sin(2\Pi x - 2\Pi t) = sin(2\Pi x)cos(2\Pi t) - cos(2\Pi x)sin(2\Pi t)$

Et donc finalement,
$M_B$ $\phi_x =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos(2\Pi x) & sin(2\Pi x) \\
0 & sin(2\Pi x) & -cos(2\Pi x)
\end{pmatrix}$
Voilà... Si ce n'est pas ça alors je ne vois vraiment plus... $f(e_2)= 0*\frac{1}{\sqrt 2} + cos(2\Pi x)*cos(2\Pi t) + sin(2\Pi x)*sin(2\Pi t)$ etc !

Du coup si c'est bien ça, pourquoi on appelle ça une "translatée-symétrisée" ?

Minibob59
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Re: Bilinéarité

Message par Minibob59 »

Bonjour,

Là c'est bon.
Je ne sais pas si c'est le nom officiel, mais quand on regarde la courbe de $\phi_x(f)$ par rapport à celle de $f$, on a effectué une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées puis une translation de vecteur $x \vec{\imath}$.
Par contre, on peut s'intéresser à l'endomorphisme $\phi_x$ de point de vue algèbre linéaire (donc l'opération géométrique effectuée dans $A$).
Par exemple, on voit que la matrice de $\phi_x$ dans la base orthonormée $B$ est symétrique donc $\phi_x$ est auto-adjoint. Comme on est dans un espace réel, il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de $\phi_x$ est diagonale. On peut donc donner une description simple de cet endomorphisme.
Allons même plus loin : calculez $M^2$...
Minibob59 !

guillaumeibanez
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Re: Bilinéarité

Message par guillaumeibanez »

Ah d'accord on se retrouve avec la matrice identité! Ce qui intéressant si l'on a besoin de faire des calculs avec des puissances n!
Merci beaucoup je ne ferais plus la même erreur sur la matrice, la forme m'avait fait peur mais en fait ça se fait vraiment bien :)
Je note résolu!

Bonne journée,
Cordialement

Minibob59
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Re: [Résolu] Bilinéarité

Message par Minibob59 »

Oui, et ça montre aussi qu'il s'agit d'une symétrie vectorielle, qui plus est, orthogonale. C'est donc un endomorphisme assez "simple".

Bonne continuation.
Minibob59 !