[EDP] Calcul variationnel

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pihro
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[EDP] Calcul variationnel

Message par pihro »

Bonjour,

J'ai à montrer l'existence de la solution d'un système d'EDP. Pour cela je me suis ramené au problème de la minimisation de la fonctionnelle, pour $u$ et $v$ dans $H^1(\Omega)$ et valant une certaine valeur sur $\partial\Omega$ :

$I(u,v) = \int_{\Omega} \left( u^2+u^4+|\nabla u|^2 + |\nabla v|^2 + \partial_z u. v \right) dx = \int_{\Omega} f(x,(u,v),D(u,v))$

Mon problème est que dans tous les manuels sur le calcul des variations que j'ai consultés jusqu'ici, il faut toujours trouver une minoration du type

$f(x,s,p)\geq f_0(p)$

ce qui n'est pas possible dans mon cas. D'où ma question : existe-t-il un théorème se passant de cette hypothèse, ou bien dois-je chercher d'autres méthodes pour résoudre mon problème ?

Si quelqu'un a une bonne référence sur le sujet, je suis également preneur :-)

Bien à vous,

Pihro

OG
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Re: [EDP] Calcul variationnel

Message par OG »

Bonjour

Quel est le système associé ? Les conditions aux limites, la dimension de $\Omega$ ?
Concernant une minoration, avec Cauchy-Schwarz, les injections de Sobolev, n'y a t il pas un moyen de contrôler
le terme "à problème" $\partial_z u v$ ?

O.G.