Notations de dérivées partielles

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paspythagore
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Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je reviens à la charge avec les notations sur un exercice d'application sur les complexes qui est simple en lui même mais pour lequel je ne comprends pas les notations.
La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+$ : $z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\ \;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.

Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, ...
Ca y est, première ligne, je suis largué. $f'(t)$ KESAKO ? $t$ est une fonction. $f'(t)=f'\circ t$ ?

Je ne comprends pas : $u'=(f\circ t)'=(f'\circ t)\cdot t'$ ?

balf
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

Sans doute. je ne sais pas ce qu'est f exactement, mais c'est une fonction d'une seule variable. Il faut certainement comprendre f'(t) comme f'(t(z)). Les notations sont abusives, mais compactes et plus parlantes que si on écrivait correctement.

B.A.

paspythagore
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

Bonsoir.
On cherche les applications $f$ telles que $u_f$ soit harmonique.
Mais ça n'est pas ce qui me perturbe.

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
S'agissant de complexes, on va considérer que $x$ est la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire.

Comment arriver ensuite à : $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?
Y a t-il une jacobienne quelque part ?
Comment passe t-on des dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$ à la dérivées partielles de $z$ ?

balf
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

Pour une fonction f de x et y, que l'on peut aussi considérer comme une fonction de z = x + iy et de $\mathsf{\bar z}$, par définition :
∂f/∂z = ½(∂f/∂x – i ∂f/∂y) et ∂f/∂$\mathsf{\bar z}$ = ½(∂f/∂x + i ∂f/∂y).

Si f est une fonction holomorphe de z (seul, donc), on a ∂f/∂z = fʹ(z) et ∂f/∂$\mathsf{\bar z}$ = 0.

B.A.

paspythagore
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+$ : $z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\ \;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.

Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?
Il vient : $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$
Pourquoi parle t-on de $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ au lieu de $\dfrac{d u}{d z}$ ?
Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
Pourquoi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$ et pas :

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
$u'=(f\circ t)'=(f'\circ t)\cdot t'$
Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$

Minibob59
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par Minibob59 »

paspythagore a écrit :Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
Je ne peux pas trop te répondre pour les autres questions parce que je n'ai pas encore fait d'analyse complexe, mais je pense que la première formule ci-dessus est un produit de fonctions (produit des dérivées de $t$ par rapport à $z$ et $\overline{z}$) alors que la seconde est une dérivée seconde (celle de $t$ par $\overline{z}$ puis $z$).
Minibob59 !

balf
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

paspythagore a écrit :Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?
Parce que f'(t) est la dérivée (complexe) de f au point t(z) et que f n'est pas t.
Pourquoi parle t-on de $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ au lieu de $\dfrac{d u}{d z}$ ?
Parce que t est une fonction de z et $\bar{\mathsf z}$ et donc u = f ∘ t aussi.
Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?
Votre phrase n'est pas terminée… Pour que quoi ?
Pourquoi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$ et pas :

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
Parce que quand on dérive f't) par rapport à $\bar{\mathsf z}$, on a affaire à une fonction composée : ∂(f'(t))/∂$\bar{\mathsf z}$= f''(t) × ∂t/∂$\bar{\mathsf z}$.
Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
Le premier est le produit de 2 dérivées partielles premières et le second une dérivée partielle seconde…

paspythagore
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

Merci, je vais reprendre avec vos indications.

Ma phrase était terminée...

balf
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

Mais il manque (au moins) un verbe après pour que !

B.A.

paspythagore
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

Oui. Pardon.

Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$

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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

MercI;

Pour
Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?
il faut voir $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial (f'\circ t)}{\partial x}\dfrac{\partial t}{\partial x}$ ?

balf
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

paspythagore a écrit : Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$
Toujours parce que ∂/∂z = ½(∂/∂x – ∂/∂y).

B.A.

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Re: Notations de dérivées partielles

Message par balf »

[…]
il faut voir $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial (f'\circ t)}{\partial x}\dfrac{\partial t}{\partial x}$ ?
Pas exactement :
$$\dfrac{\partial (f\circ t)}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}(t)\,\dfrac{\partial t}{\partial x}.$$
B.A.

paspythagore
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Re: Notations de dérivées partielles

Message par paspythagore »

balf a écrit :
paspythagore a écrit : Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$
Toujours parce que ∂/∂z = ½(∂/∂x – ∂/∂y).

B.A.
∂/∂z = ½(∂/∂x – i ∂/∂y)