Formule de Poisson pour les complexes

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paspythagore
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Formule de Poisson pour les complexes

Message par paspythagore »

bonjour.
Il me manque une petite chose à comprendre dans la démonstration de ce théorème et un exercice simple d'application.
Merci de votre aide.
Soient $D=D(0,R)$ et $u:D\to\R$ une fonction harmonique sur $D$ et continue sur $\overline{D}$. Alors :

$$u(z)=\dfrac{1}{2\pi}\ds\int_0^{2\pi}u(Re^{i\theta})\dfrac{R^2-|z|^2}{|Re^{i\theta}-z|^2}d\theta$$
pour tout $z\in D$.
Preuve :il existe $f\in\mathcal{O}(D)$ telle que $u=Re\;f$. Posons $z^*=\dfrac{R^2}{\bar{z}}\in\C\setminus\overline{D}$.
La formule de Cauchy nous donne les égalités suivantes :

$f(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\partial D}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}d\zeta$ et $0=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\partial D}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z^*)}d\zeta$
Je ne comprends pas la deuxième égalité.

balf
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Re: Formule de Poisson pour les complexes

Message par balf »

Ce devrait être simplement parce que si z appartient à D (je présume qu'il s'agit du disque ouvert, ne connaissant pas vos conventions), z* appartient à C \ $\overline{\mathsf D}$. On applique le théorème intégral de Cauchy.

Toutefois, il y a un petit problème technique : la formule aussi bien que le théorème intégral de Cauchy réclament que la fonction f soit définie dans un voisinage de $\overline{\mathsf D}$ si l'on intègre sur ∂D.

B.A.