Déterminant d'une matrice

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Mathecatoz
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Déterminant d'une matrice

Message par Mathecatoz »

Bonsoir,

Je suis bloquée sur une matrice depuis ce matin, j'ai essayé la récurrence, la transformer en matrice triangulaire mais je trouve toujours pas. Quelqu'un pourrait il m'aider ?

Je cherche le determinant d'une matrice qui a a1,a2,...,an en diagonale et tout le reste sont des b.

Voilà, très bonne soirée à vous tous et merci !

balf
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Re: Déterminant d'une matrice

Message par balf »

Je n'ai pas réfléchi sérieusement à comment le faire, mais après expérimentation, je pense que la formule à trouver est la suivante : si l'on note S_k la k-ième fonction symétrique élémentaire de α₁, α₂,...,α_n (somme des produits k à k), alors le déterminant vaut:
$$ \mathsf{S_n+\displaystyle\sum_{k=2}^n (-1)^{k-1} (k-1)b^k S_{n-k}. $$
B.A.

balf
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Re: Déterminant d'une matrice

Message par balf »

On doit pouvoir arriver à démontrer la formule, en commencant par opérer un transformation de la première ligne et en récurrant. Appelons D$_{\mathsf n}$(α₁, α₂, … ,αₙ) le déterminant.
$$\begin{vmatrix} \alpha_1 & b & b & \dots & b\\ b & \alpha_2 & b & \dots & b \\ b & b & \alpha_3 & \dots & b \\ \vdots &&&& \vdots \\ b & b & \hdotsfor{2} & \alpha_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\alpha_1-b & b - \alpha_2 & 0 & \dots & 0\\ b & \alpha_2 & b & \dots & b \\ b & b & \alpha_3 & \dots & b \\ \vdots &&&& \vdots \\ b & b & \hdotsfor{2} & \alpha_n \end{vmatrix} $$
Par conséquent D$_{\mathsf n}$(α₁, α₂, … ,αₙ) =
$$ (\alpha_1-b ) \begin{vmatrix} \alpha_2 & b & \dots & b \\ b & \alpha_3 & \dots & b \\ \vdots &&& \vdots \\ b & \hdotsfor{2} & \alpha_n \end{vmatrix} + (\alpha_2 - b) \begin{vmatrix} b & b & \dots & b \\ b & \alpha_3 & \dots & b \\ \vdots &&& \vdots \\ b & \hdotsfor{2} & \alpha_n \end{vmatrix} $$
Le premier déterminant dans cette somme n'est autre que D$_{\mathsf{n-1}}$(α₂, … ,αₙ) . Quant au second, la même manipulation de lignes et une récurrence très simple permet de le calculer explicitement ; il vaut : b(α₃ – b)···(αₙ – b). Bref tout cela fournit la relation de récurrence :
D$_{\mathsf n}$(α₁, α₂, … ,αₙ) = (α₁ – b) D$_{\mathsf{n-1}}$(α₂, … ,αₙ) + b(α₂ – b)(α₃ – b)···(αₙ – b).

Avec ça, on doit pouvoir terminer :idea:

B.A.