Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

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paspythagore
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Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je me noie dans l'analyse complexe et je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer, ni ce qui la correction des exercices.
Exercice : Soit $E=\{Re>0\}$.
Déterminer les applications $f$ de $\R^*_+$ dans $\R$ de classe $C^2$ tel que :
$u_f=u:z\mapsto f\Big(\dfrac{|z|^2}{Re\;z}\Big)$ est harmonique sur $E$.
La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+,z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.
Pourquoi ça démontre que $u$ est $C^2$ ?
Il faut dériver 2 fois ?
$f$ est $C^2$ d’après l’énoncé ?
Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
J'ai toujours du mal à comprendre la construction de ces dérivées partielles.
$u=f\circ t$,$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}=f'(t)$ car $f$ est $C^2$ donc holomorphe ?
Je ne suis pas sûr que $C^2$ implique holomorphe et harmonique n'implique pas holomorphe.

Si $f$ est holomorphe, mais je n'ai pas encore compris pourquoi :
$\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\Big)=\dfrac{\partial f}{\partial x}=-i\dfrac{\partial f}{\partial y}$ donc :

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-i\dfrac{\partial f(t)}{\partial y}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial y}$ et $-\dfrac{\partial f(t)}{\partial y}=f'(t)$ ?
il vient $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.
Pourquoi ne peut t-on pas dire directement :
$\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial z}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}=f'(t)\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?

balf
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par balf »

paspythagore a écrit :
Exercice : Soit $E=\{Re>0\}$.
Déterminer les applications $f$ de $\R^*_+$ dans $\R$ de classe $C^2$ tel que :
$u_f=u:z\mapsto f\Big(\dfrac{|z|^2}{Re\;z}\Big)$ est harmonique sur $E$.
La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+,z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.
Pourquoi ça démontre que $u$ est $C^2$ ?
Il faut dériver 2 fois ?
$f$ est $C^2$ d’après l’énoncé ?
Oui, parce que f est C² par hypothèse et parce que z → z et z → $\bar{\mathsf z}$ sont des fonctions C² (et même C$^ \infty$, puisque ce sont des applications linéaires).
Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
J'ai toujours du mal à comprendre la construction de ces dérivées partielles.
$u=f\circ t$,$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}=f'(t)$ car $f$ est $C^2$ donc holomorphe ?
Je ne suis pas sûr que $C^2$ implique holomorphe et harmonique n'implique pas holomorphe.
Non c'est seulement holomorphe qui implique C². La conjugaison est une fonction C$^\infty$ car linéaire, mais certainement pas holomorphe.

Votre façon de récrire le calcul des dérivées partielles est erronée : f est une fonction d'une seule variable réelle (d'où la notation f'). Sinon, c'est tout simplement la formule de dérivation des fonctions composées à plusieurs variables.
Si $f$ est holomorphe, mais je n'ai pas encore compris pourquoi :
Elle ne l'est pas, puisqu'elle dépend de $\mathsf{\bar z}$.

B.A.

paspythagore
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par paspythagore »

MercI.
Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
balf a écrit :Non c'est seulement holomorphe qui implique C². La conjugaison est une fonction C$^\infty$ car linéaire, mais certainement pas holomorphe.

Votre façon de récrire le calcul des dérivées partielles est erronée : f est une fonction d'une seule variable réelle (d'où la notation f'). Sinon, c'est tout simplement la formule de dérivation des fonctions composées à plusieurs variables.
Mais $t$ n'est pas aussi une fonction d'une seule variable ?
Je pensais que $x$ était la partie réelle de $z$.
il vient $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.
Pourquoi ne peut t-on pas dire directement :
$\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial z}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}=f'(t)\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?

balf
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par balf »

paspythagore a écrit :Mais $t$ n'est pas aussi une fonction d'une seule variable ?
Non ; t est une fonction de z et de $\overline{\mathsf z}$, donc en définitive de x et y.
Je pensais que $x$ était la partie réelle de $z$.
C'est bien ça.
il vient $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.
Pourquoi ne peut t-on pas dire directement :
$\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial z}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}=f'(t)\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?
Parce que, dans la formule de dérivation d'une fonction composée, le premier facteur est la dérivée de la fonction f par rapport à son argument, qui se trouve être t. Et que f n'est absolument pas une fonction de z : c'est une fonction réelle d'une variable réelle. On ne peut même pas employer de notation de Leibniz pour f puisqu'on n'a pas donné de nom à la variable (réelle, donc) de f.

paspythagore
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par paspythagore »

Je ne comprends pas par rapport à quoi on dérive $f$, ni pourquoi :

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}\Longrightarrow\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.

Dans $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ que représente $x$ puis $y$ pour $f$, puisque $f$ n'est ni une fonction de $x$, ni une fonction de $y$ ?

balf
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par balf »

Rien directement : l'argument de f (fonction d'une seule variable réelle) est t(x,y) ; t est une fonction numérique (c.-à-d. à valeur réelle) des 2 variables réelles x et y. Il mme semble que la situation est simple, si les calculs ne le sont pas forcément. Bref on peut résumer ça dans le schéma :
(x, y) → t(x, y) → f(t(x, y))


B.A.

paspythagore
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Re: Dérivées partielles et fonctions harmoniques dans C

Message par paspythagore »

Oui.
Il faut que je le pose comme cela à chaque fois.
Mais pourquoi doit on passer par les dérivées partielles de $t$ ?
paspythagore a écrit :Je ne comprends pas pourquoi :

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}\Longrightarrow\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.