Groupe quotient trivial

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woodoo
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Groupe quotient trivial

Message par woodoo »

Bonjour,

j'ai une question sur les groupes quotients; je ne comprend pas pourquoi, si G est un groupe, le groupe quotient G/G est trivial (réduit à l'unité).
Cette question vient d'un exercice, il s'agit de montrer que si G est un groupe, N est un sous-groupe normal de G, on a équivalence entre
1. G/N est simple,
2. N est un sous-groupe normal maximal de G (c'est-à-dire si $N \lhd H \lhd G$, alors $H = N$ ou $H = G$).

Pour ce faire, j'ai fait comme suit:
Supposons que $G/N$ soit simple, il faut montrer qu'alors $N$ est maximal. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ tel que $N \lhd H \lhd G$. Quotientons $H$ par $N$, et montrons que $H/N \lhd G/N$. Il faut donc montrer que $gNH/N = H/NgN$ pour tout $gN$ dans $G/N$. Soit $gN \in G/N$ et soit $hN \in H/N$. Alors
$\quad gNhN = NghN \overset{H \lhd G}{=} NhgN = hNgN.$
Donc $H/N \lhd G/N$. Comme $G/N$ est simple, ses seuls sous-groupes normaux sont $\{Id\}$ et $G/N$, c'est-à-dire que $H/N = \{Id\}$ ou $G/N$. Si $H/N = G/N$, alors clairement $H = G$, et si $H/N = \{Id\}$, alors $H = N$, donc $N$ est un sous-groupe normal maximal de $G$.
Je n'arrive pas à me convaincre de la ligne
si $H/N = \{Id\}$, alors $H = N$.

Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi c'est vrai, ça serait génial :).

Merci d'avance, et bonne journée.

balf
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Re: Groupe quotient trivial

Message par balf »

Simplement parce que H/N = {Id} revient à dire que dans H, il n'y a qu'une seule classe à gauche modulo N, c.-à-d. que pour tout h ∈ H, on a hN = N ; en particulier, e étant l'élément neutre de G, he = h ∈ N, si bien que H $\subset$ N. Comme on a l'inclusion opposée par hypothèse,…

B.A.

woodoo
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Re: Groupe quotient trivial

Message par woodoo »

J'ai donc un problème avec les notations, je pensais que $H/N=\{Id\}$ signifiait que si $H/N=\{hN:h\in N\}$, alors $hN = Id$ pour tout h dans H.
Dans ce cas, l'identité serait en fait l'application identité, et non pas l'élément neutre?

Je comprend votre explication, mais je suis toujours un peu confus par rapport aux notations.
J'aimerais bien comprendre pourquoi, si G est un groupe, G/G est réduit à l'élément neutre. Par définition des classes latérales gauches, on aurait $G/G = \{gG : g \in G\} = G$, non? Je dois mélanger quelque chose ou oublier quelque chose, mais je ne vois pas quoi.

EDIT: J'ai une explication, ou une preuve, qui utilise deux chose: la première est que le noyau d'un homomorphisme $\alpha : G \to H$ est $\ker \alpha = \{g \in G : \alpha(g) = e\}$, et la deuxième est que si $N \lhd G$, l'application-quotient $\pi: G \to G/N$ est un homomorphisme de noyau $N$.
Avec ça, on a que comme G est normal dans G, $\pi: G \to G/G$ est un homomorphisme de noyau G, et donc $\pi(g) = e$ pour tout $g \in G$, d'où $G/G = \(e\}$.

Donc pour revenir à ma première question, je n'arrive pas à me faire une intuition de pourquoi on a pas $G/G = \{gG : g \in G\} = G$, qu'est-ce qui cloche dans ce raisonnement?

balf
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Re: Groupe quotient trivial

Message par balf »

G/G est bien l'ensemble des gG quand g se balade dans G, mais ces gG sont tous égaux (à G), de sorte que leur ensemble est simplement l'ensemble à un élément {G} (et non G). Je crois que la sour ce de vos dificultés gît dans la confusion des deux.

Quant à l'élément neutre noté Id, je suppose que c'est une notation liée aux groupes d'automorphismes, d'isométries ou autres permutations (bref, des groupes d'applications). Pour un groupe « abstrait », je ne l'ai jamais vu employer.

B.A.

woodoo
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Re: Groupe quotient trivial

Message par woodoo »

Je crois que j'ai surtout mélangé les éléments du groupe quotient et les éléments du groupe.
Je n'ai plus pensé que les éléments du groupe quotient étaient des classes latérales, or je m'attendais à tomber sur l'élément neutre du groupe G.
Avec ceci en tête, je pense que j'ai compris!

Merci pour vos explications, et bonne soirée!