Identifier un quotient

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Modérateur : gdm_sco

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woodoo
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Identifier un quotient

Message par woodoo »

Bonjour,

j'ai un exercice qui me pose problème.
On définit 3 ensembles $G, H$ et $N$ de matrices $3 \times 3$ réelles.
$G = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} a & 0 & x \\ 0 & a^{-1} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): a, x, y \in \R, a \neq 0 \right\}$,
$H = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} a & 0 & 0 \\ 0 & a^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): a \in \R, a \neq 0 \right\}$,
$N = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): x, y \in \R, \right\}$.
1. Montrer que $G, H, N$ sont des sous-groupes de $GL_{3}(\R)$.
2. Montrer que $N$ est un sous-groupe normal de $G$ et identifier le groupe quotient $G/N$. Le groupe $G$ est-il résoluble?
J'ai montré que $G, H, N$ sont des sous-groupes, et que $N$ est normal dans $G$. Là où ça pose problème, c'est l'identification du quotient.
Je ne sais pas trop comment partir. Je sais qu'il doit y avoir une application $\alpha: G \to K$ dont le noyau est $N$, mais je ne sais pas comment poser $\alpha$ ni comment identifier $K$.
J'espère que vous avez quelques conseils à me donner pour identifier les quotients en général, car je suis un peu perdu.

Merci d'avance pour toute aide, et bonne journée!

woodoo
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Re: Identifier un quotient

Message par woodoo »

J'ai fini par trouver.

$G/N$ est isomorphe à $\R \setminus \{0\}$ multiplicatif.

Il faut considérer l'homomorphisme surjectif $\alpha: G \to \R \setminus \{0\}$ défini par $\alpha(g) = a$ (le $a$ de la matrice), et conclure par le premier théorème d'isomorphisme.

balf
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Re: Identifier un quotient

Message par balf »

C'est cela même.

B.A.