Théorème de Kronecker

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woodoo
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Théorème de Kronecker

Message par woodoo »

Bonsoir,

j'étais en train d'étudier la démonstration du théorème de Kronecker (ou théorème fondamental de la théorie des corps) et il y a un point sur lequel le livre passe vite et que je ne suis pas sûr de bien comprendre.

L'énoncé dans le livre est:
Soit $F$ un corps et soit $f(x)$ un polynôme non constant dans $F[x]$. Alors il existe une extension $E$ de $F$ dans laquelle $f(x)$ a un zéro.
Le début de la démonstration est la suivante:
Comme $F[x]$ est un anneau factoriel, $f(x)$ a un facteur irréductible, disons $p(x)$. Clairement, il est suffisant de construire une
extension $E$ de $F$ dans laquelle $p(x)$ a un zéro. Notre candidat pour $E$ est donc $\sfrac{F[x]}{\langle p(x) \rangle}$. On sait que c'est un corps car $p(x)$ est
irréductibe. De plus, comme l'application $\phi: F \to E$ donnée par $\phi (a) = a + \langle p(x) \rangle$ est injective et préserve les opérations
C'est l'injectivité que je ne suis pas sûr à 100% de bien comprendre. On a que $\phi$ est injective si pour tous $a, b \in F$ tels que $\phi(a) = \phi(b)$, alors $a = b$. Ici, si $a, b \in F$ on a que $\phi(a) = \phi(b) \Leftrightarrow a + \langle p(x) \rangle = b + \langle p(x) \rangle \Leftrightarrow a - b \in \langle p(x) \rangle \Leftrightarrow a - b = q(x)p(x)$, or comme $a$ et $b$ sont des constantes et que $p(x)$ n'est pas un polynôme constant, on a forcément $a - b = 0 p(x) = 0$, donc $a = b$.

Est-ce que c'est (a peu près) la raison, ou bien est-ce que je suis à côté de la plaque?

Merci d'avance pour vos réponses, et bonne soirée.

balf
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Re: Théorème de Kronecker

Message par balf »

Votre argument est juste, mais plus simplement, pour un morphisme d'anneaux de A dans B (qui envoie 1 sur 1 !), pour vérifier l'injectivité, il suffit de vérifier que le noyau est réduit à 0. Or le noyau est un idéal de A — et quels sont les idéaux d'un corps ?

B.A.

woodoo
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Re: Théorème de Kronecker

Message par woodoo »

Arf oui c'est juste ça m'était sorti de la tête.

Les ideaux d'un corps sont les ideaux triviaux. Il suffit donc de voir que le noyau est reduit a {0}, autrement dit, qu'il existe un élément a dans F tel que $\phi(a) \neq 0$, et c'est bon.

C'est vrai que c'est plus simple.

Merci et bonne soirée!

balf
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Re: Théorème de Kronecker

Message par balf »

En fait, j'avais oublié de le rappeler, il résulte de tout cela qu'un morphisme d'un corps dans un anneau quelconque (qui envoie 1 sur 1, tout de même) est injectif ; en particulier, tout morphisme de corps est injectif.

B.A.