Groupe quotient résoluble

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woodoo
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Groupe quotient résoluble

Message par woodoo »

Bonsoir,

il y a un passage dans la preuve du théorème suivant que je ne comprend pas:
Un groupe quotient d'un groupe résoluble est résoluble.
Au début de la preuve, on prend une suite résoluble de $G$ et $N$ un sous-groupe normal de $G$. On pose ensuite
$\{1\} \subset G_0N/N \subset G_1N/N \subset \cdots \subset G_kN/N = G/N$.
Il faut montrer que les quotients successifs sont abéliens. Par le troisième théorème d'isomorphisme on a
$(G_{i+1}N/N)/(G_iN/N) \cong G_{i+1}N/G_iN$.
C'est juste ce dernier point que je ne comprend pas, pourquoi est-ce que le quotient $G_{i+1}N/G_iN$ est abélien?

Merci d'avance et bonne soirée!
woodoo
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Re: Groupe quotient résoluble

Message par woodoo »

Je crois que j'ai la bonne preuve:
Soit $N$ un sous-groupe normal de $G$, alors
$$\{1\} = \sfrac{G_0N}/{N} \lhd \dotsb \lhd \sfrac{G_kN}/{N} = \sfrac{G}/{N}$$
est la bonne suite résoluble. On le montre en plusieurs points:

1. Commençons par montrer que $G_iN \lhd G_{i+1}N$. Soient $gn \in G_iN$ et $hm \in G_{i+1}N$. Comme
$gN = Ng$ pour tout $g \in G$, on a $hmgn(hm)^{-1} = hmgnm^{-1}y^{-1} = hgm'nm^{-1}h^{-1} = hglh^{-1} =
hgh^{-1}l' \in G_iN$ pour un certain $l' \in N$.

\2. Montrons que $\sfrac{G_iN}/{N} \lhd \sfrac{G_{i+1}N}/{N}$. On a $N \subset
G_iN \subset G_{i+1}N$ et $G_iN \lhd G_{i+1}N$. Soit $a \in G_{i+1}$. On a $(aN)(\sfrac{G_iN}/{N}) =
\sfrac{aG_iN}/{N} = \sfrac{G_iN a}/{N} = (\sfrac{G_iN}/{N})(aN)$.

3. Les quotients successifs sont abéliens. Par le troisième
théorème d'isomorphisme, on a
$$\frac{\sfrac{G_{i+1}N}/{N}}{\sfrac{G_iN}/{N}} \cong \frac{G_{i+1}N}{G_iN}.$$
Comme $\sfrac{G_{i+1}}/{G_i}$ est abélien, on a $xG_iyG_i = (xy)G_i = (yx)G_i = yG_i xG_i$ pour tous $x, y \in
G_{i+1}$. Soient $gn \in G_{i+1}N$ et $hm \in G_{i+1}N$, alors
$$ \begin{array}{rcl}
(gnG_iN)(hmG_iN) &=& (gG_iN)(hG_iN)\\
&=& (gh)G_iN \\
&=& (hg)G_iN\\
& \vdots &\\
&=& (hmG_iN)(gnG_iN).
\end{array}$$

Une autre preuve pour montrer que les quotients sont abéliens, qui utilise le deuxième et le troisième
théorème d'isomorphisme respectivement est la suivante:
$$\begin{array}{rcl}
\frac{G_{i+1}N}{G_iN} &\cong& \frac{G_{i+1}}{G_{i+1} \cap G_iN}\\
&\cong& \frac{\frac{G_{i+1}}{G_i}}{\frac{G_{i+1} \cap G_iN}{G_i}}
\end{array}$$
qui est abélien, puisque le quotient d'un groupe abélien est abélien. Noter que pour appliquer le second
théorème d'isomorphisme, on a $\frac{G_{i+1}N}{G_iN} = \frac{G_{i+1}G_iN}{G_iN}$.
balf
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Re: Groupe quotient résoluble

Message par balf »

Il faudra que je regarde plus tard la première démonstration que les quotients successifs sont abéliens (elle paraît un peu fumeuse pour l'instant), mais a priori, je préfère la seconde, plus élégante.

Au passage, on parle de « suite de résolubilité », non de suite résoluble.

B.A.