Groupe affine et quotient

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woodoo
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Groupe affine et quotient

Message par woodoo »

Bonsoir,

j'ai à nouveau des problèmes avec un quotient de groupe. Voici l'énoncé:
Soit $G$ l'ensemble des transformations affines de $\R$ de la forme $x \mapsto \varepsilon x + n$ où $\varepsilon \in \{\pm 1\}$ et $n \in \Z$.
1. Montrer que $G$ est un sous-groupe du groupe affine $Aff(\R)$.
2. Soit $N$ le sous-groupe de $G$ formé des translations entières $x \mapsto x + n$. Montrer que $N$ est normal dans G et identifier le quotient $G/N$.
3. Décrire le sous-groupe $G'$ des commutateurs de $G$, et l'abélianisé $G/G'$.
C'est au 2ème point que je coince.
En cours on a défini le groupe affine comme étant $Aff(K) = \{g_{ab} : x \mapsto ax + b, a \in K^{\times}, b \in K\}$.
Pour montrer que $N$ est distingué dans $G$, j'ai montré que pour tout $g \in G$, $gNg^{-1} \subseteq N$. C'est pour identifier le quotient que ça se corse. Voici mon raisonnement: Je voulais un homomorphisme $\varphi: G \to H$ surjectif, où $H$ est le groupe à déterminer. Il me fallait que $\ker \varphi = N$, alors pour cela j'ai écrit la définition du noyau: $\ker \varphi = \{g \in G : \varphi(g) = 1\} = \{\varepsilon x + n: \varphi(\varepsilon x + n) = 1\}$. J'ai donc à partir de là été tenté de penser que l'application cherchée dépendait de $\varepsilon$, puisque $\varepsilon \in \{\pm 1\}$. J'ai donc posé $\varphi(g) = \begin{cases} 0 & \text{si } \varepsilon = -1\\ 1 & \text{si } \varepsilon = 1 \end{cases}$. Ainsi en revenant à la définition du noyau on a $\ker \varphi = \{\varepsilon x + n: \varphi(\varepsilon x + n) = 1\} = \{x + n: x \in \R \setminus \{0\}, n \in \Z\} = N$.
Autrement dit $H = \Z / 2\Z$ et donc $G/N \cong \Z/2\Z$ par le premier théorème d'isomorphisme.

Je ne sais pas trop si mon raisonnement est juste, j'ai encore du mal à identifier les quotients.

Merci d'avance et bonne soirée!
balf
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Re: Groupe affine et quotient

Message par balf »

Il est beaucoup plus simple et naturel d'envoyer G dans le groupe multiplicatif {–1,1} (qui est isomorphe à Z/2Z de toute façon) par φ(g) = ε, si g(x) = εx + n. Il est alors bien plus clair qu'il s'agit d'un morphisme de groupes, et le noyau dudit morphisme est bien N.

B.A.
woodoo
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Re: Groupe affine et quotient

Message par woodoo »

Merci beaucoup pour la réponse!

C'est vrai que c'est plus clair ainsi!

Bonne soirée!