Corps de déploiement de $x^4 + 2$

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woodoo
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Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Message non lu par woodoo »

Bonsoir,

J'ai un exercice où je dois calculer le corps de déploiement de $p(x) = x^4 + 2$ sur $\Q$.

Pour cela, il est indiqué que je dois considérer $\omega = e^{\frac{i \pi }{4}}$, autrement dit les racines 8èmes de l'unité.

Je ne comprend pas pourquoi on considère les $\omega^k = e^{\frac{i 2 \pi k }{8}}$ et non pas les $\omega^k = e^{\frac{i 2\pi k }{4}}$.

D'où vient le fait qu'on doit considérer les racines 8èmes de l'unité?

En cours, on avait fait un exemple où on a calculé les racines de $x^3 - 2$, et on a considéré $\omega = e^{\frac{i 2\pi }{3}}$, qu'on a ensuite multiplié par $\sqrt[2]{2}$. Pourquoi est-ce que je ne pourrais pas faire la même chose?

Merci d'avance et bonne soirée!
balf
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Re: Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Message non lu par balf »

Je suppose que ce que vous appelez le corps de déploiement d'un polynôme est ce que j'appelle son corps des racines (l'extension de Q engendrée par les racines du polynôme dans C). On prend les racines 8-ièmes parce que, comme on veut résoudre l'équation x⁴ = 2, on a besoin des racines quatrièmes de 1 (si l'on veut prendre pour point de départ la racine quatrième de 2). Et les racines quatrièmes de –1, avec celles de 1, ça nous fait les racines 8-ièmes de 1.

B.A.
woodoo
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Re: Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Message non lu par woodoo »

Oui en effet c'était bien ça!

On a en fait $x^4 = -2$, donc on regarde $\sqrt[4]{-2} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{1}} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{1}$ et bien entendu on ne garde que les racines 8èmes qui donnent -1.
Sinon on peut aussi poser $-1 = e^{i\pi}$ et $x = e^{\frac{2 \pi i k}{n}}$ et on cherche donc $n$ tel que $(e^{\frac{2 \pi i k}{n}})^4 = -1$, c'est-à-dire $e^{\frac{4 \cdot 2 \pi i k}{n}} = e^{i \pi}$ et donc $n = 8$ et $k$ est impair (car on veut obtenir $-1$).

Sinon oui, ce que j'appelle corps de déploiement est bien ce que vous appelez corps de racines.

Merci et bonne journée!
JCL
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Re: Corps de déploiement de $x^4 + 2$

Message non lu par JCL »

Bonjour,
Soit $\mathbb K_2$ le corps de décomposition de $X^4+2$ sur $\Q.\quad\mathbb K_2=\Q(\alpha, \beta,\gamma, \delta),\quad \alpha =\sqrt [4]2\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right ), \:\beta =\alpha \mathrm i, \:\gamma = - \alpha, \:\delta = -\alpha \mathrm i.$

Il est à noter que pour tout $a\in\N_{>2}$ sans facteur carré,$\:\sqrt[4]a $ et $\mathrm e^{\mathrm i \pi/4}$ n'appartiennent pas au corps $\mathbb K_a$ de décomposition de $X^4+a.$
Le fait $\:\sqrt[4]2$ et $\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right )\:$ soient des éléments de $\mathbb K_2$ ne m'a pas semblé si clair et me paraît nécessiter une justification:
$$\:2^{1/4}= \dfrac 2{\alpha- \beta},\quad \exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right )=\dfrac {\alpha(\alpha- \beta)}2.$$
de sorte que $\:\: \mathbb K_2=\Q\left(\sqrt[4]2,\:\mathrm i\right)$ est aussi le corps de décomposition de $X^4-2$ sur $\Q.$

$\mathbb K_2$ est une extension galoisienne de degré $8$ de $\Q$, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe diédral $\mathcal D_8$, qui contient exactement cinq sous-corps de degré $4$ sur $\Q$ et trois sous-corps de degré $2$ sur $\Q.\quad $ Avec $\:\omega=\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right ):$

$$\xymatrix
{&&\mathbb K_2\ar@{-}[lld]\ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] \ar@{-}[rd]\ar@{-}[rrd] \\
\mathbb Q(2^{1/4}\omega) \ar@{-}[rd]&\mathbb Q(2^{1/4}\omega^3) \ar@{-}[d]&\Q(\omega)\ar@{-}[ld] \ar@{-}[d] \ar@{-}[rd]&\Q(2^{1/4})\ar@{-}[d]& \Q(\mathrm i 2^{1/4})\ar@{-}[ld]\\
& \Q(\mathrm i \sqrt 2)\ar@{-}[rd]& \Q(\mathrm i)\ar@{-}[d]&\Q(\sqrt2)\ar@{-}[ld]\\&&\mathbb Q}$$