Eléments inversibles de L(E)

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paspythagore
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Eléments inversibles de L(E)

Message par paspythagore »

Bonjour.
Des questions sur ce théorème : est que mes réponses sont justes ? Pouvez vous m'aider pour celles que je n'ai pas trouvées.
Soit $E$ un espace de Banach ; l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}(E)$ qui sont à distance strictement inférieure à $1$ de $Id$ sont inversibles dans $\mathcal{L}(E)$. Dit autrement,

$$\forall l\in B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1), \exists! l^{-1}\in\mathcal{L}(E),l\circ l^{-1}=l^{-1}\circ l=\Id.$$

Démonstration
Posons :

$$ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.$$

D'après la proposition 5.1.6 page 47, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :


$S_Nl=S_N(Id+l-Id)$
$=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$
$=lS_N.$

En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.
Que signifie $\mathcal{L}(E)$ dans ce texte ?
Les applications linéaires de $E\to E$.
Donner deux exemples d'éléments de $B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1)$
La droite $y=x+1/2$ de $\R\to\R$.
Je ne sais pas comment en construire une plus élaborée.
A quel ensemble appartient $S_N$ ?
L'ensemble des séries de Banach.
Détailler l'égalité entre $S_Nl$ et $Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$.
On pourra poser $u=l-Id$).
Détailler le passage à la limite évoqué à la dernière ligne.

Minibob59
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Re: éléments inversibles de L(E)

Message par Minibob59 »

Bonjour !
Que signifie $\mathcal{L}(E)$ dans ce texte ?
Les applications linéaires de $E\to E$.
Oui, il s'agit des endomorphismes de $E$.
Donner deux exemples d'éléments de $B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1)$
La droite $y=x+1/2$ de $\R\to\R$.
Je ne sais pas comment en construire une plus élaborée.
Ce n'est pas une application linéaire... ($f(0) \neq 0$). Par contre, $f(x) = x/2$ définit bien un endomorphisme de $E$ qui se situe dans la boule unité.
A quel ensemble appartient $S_N$ ?
L'ensemble des séries de Banach.
C'est quoi une série de Banach ?
Plus simplement, c'est quoi comme objet $S_N$ ?
Détailler l'égalité entre $S_Nl$ et $Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$.
On pourra poser $u=l-Id$).
Détailler le passage à la limite évoqué à la dernière ligne.
Là, il faut faire le calcul, c'est-à-dire développer. Le passage à la limite se montre en majorant la différence $S_Nl - Id$ en norme.


Bon courage ! =)
Minibob59 !