Tribu trace

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paspythagore
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Tribu trace

Message par paspythagore »

Bonjour tout le monde sur le forum.

J'ai une question sur un domaine que je n'ai jamais touché, les tribus.
Soient $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace mesurable et $\Omega_1$ un ensemble non vide contenu dans $\Omega$. L'ensemble $\mathcal{A}_1$ des parties de la forme $\Omega_1\cap A$ avec $A$ dans $\mathcal{A}$ est une tribu appelée tribu trace de $\mathcal{A}$ sur $\Omega_1$.
Est ce que le $A$ dans $\mathcal{A}$ veut bien dire $A\in\mathcal{A}$, i.e.$A$ est une tribu. Pour moi c'est évident pour que $\mathcal{A}_1$ soit une tribu.
Comme exemple, un livre me donne : sur $\R_+$ la trace de la tribu borélienne sur $\R$.
Je ne comprends pas trop comment cela marche ni pourquoi cette tribu est celle engendrée par les ouverts de l'espace considéré.

Dialleurs la tribus borélienne d'un espace topologique $\Omega$, elle est engendrée par les espaces ouverts de $\Omega$. Cela veut dire tous les espaces ouverts de $\Omega$ ?

balf
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Re: Tribu trace

Message par balf »

paspythagore a écrit :
Soient $(\Omega,\mathcal{A})$ un espace mesurable et $\Omega_1$ un ensemble non vide contenu dans $\Omega$. L'ensemble $\mathcal{A}_1$ des parties de la forme $\Omega_1\cap A$ avec $A$ dans $\mathcal{A}$ est une tribu appelée tribu trace de $\mathcal{A}$ sur $\Omega_1$.
Est ce que le $A$ dans $\mathcal{A}$ veut bien dire $A\in\mathcal{A}$, i.e.$A$ est une tribu. Pour moi c'est évident pour que $\mathcal{A}_1$ soit une tribu.
Bonjour ! Disons qu'un instant de réflexion suffit.
Comme exemple, un livre me donne : sur $\R_+$ la trace de la tribu borélienne sur $\R$.
Je ne comprends pas trop comment cela marche ni pourquoi cette tribu est celle engendrée par les ouverts de l'espace considéré.
La trace sur R⁺ de la tribu borélienne de R est la tribu borélienne de R⁺ en vertu du lemme de transport appliqué à l'injection canonique de Ω₁ dans Ω.
D'ailleurs la tribus borélienne d'un espace topologique $\Omega$, elle est engendrée par les espaces ouverts de $\Omega$. Cela veut dire tous les espaces ouverts de $\Omega$ ?
Les sous-espaces, du moins. C'est vrai, mais bien voir que la tribu borélienne peut être assez compliquée à décrire. Elle contient les ouverts, les fermés, les intersections d'un ouvert et d'un fermé et les réunions et intersections dénombrables des précédents. Par exemple l'ensemble triadique de Cantor fait partie de la tribu borélienne de l'intervalle [0, 1].

paspythagore
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Re: Tribu trace

Message par paspythagore »

Merci.
C'est pas gagné cette histoire de tribu borélienne.
La tribu borélienne sur $\R$, c'est la tribu engendré par les intervalles ouverts de $\R$. Pour que cette tribu soit défini, il faut qu'elle soit engendrée par tous les intervalles ouvert de $\R$ (il y en a une infinité non dénombrable). Comment utiliser cette définition ?

Bon, je cale déjà sur plus simple. Montrer que $A$ est une tribu.
Soit $A$ une classe de parties de $\Omega$ telle que :
1 $\Omega\in A$,
2 $A$ est stable par passage au complémentaire : $A\in\mathscr{C}\Rightarrow A^C\in\mathscr{C}$
3 $A$ est stable par intersection finie : $A\in\mathscr{C}$ et $B\in\mathscr{C}\Rightarrow A\cap B\in\mathscr{C}$
4 $A$ est stable par réunion croissante : $\forall(A_n)_{n\in\N} \text{ croissante }\in A,\ds\bigcup_{n\in\N} A_n\in A$
Soient $(B_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $A$.

Il s'agit de montrer que $\ds\bigcup_{n\in\N} B_n\in A$.
Posons $A_n=\cup B_n$, alors $\cup A_n=\cup B_n$ avec $A_n$ croissante.
De plus, $A_n=\Big(\cap B^C_i\Big)^C\in A$ d’après 2 et 3.

On en déduit $\cup A_n=\cup B_n\in A$ d’après 4.
Je ne comprends les 2 dernières lignes, notamment l'avant dernière, je ne sais pas comment détailler le calcul.

balf
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Re: Tribu trace

Message par balf »

Déjà, il y a une erreur dans la définition de A_n ; il faut :
$$\mathsf{A_n=\bigcup\limits_{i=0}^n B_{n}}.$$
Pour l'avant-dernière égalité, l'intersection est évidemment une intersection finie, avec les mêmes bornes, et elle est simplement l'application des règles de De Morgan.

B.A.

paspythagore
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Re: Tribu trace

Message par paspythagore »

Merci.

Comment démontrer :
Le passage au complémentaire inverse la relation d'inclusion :

$A \subset B$ si et seulement si $B^c \subset A^c$ (1)

et par conséquent il échange la réunion et l'intersection, qui sont la borne supérieure et la borne inférieure, ce sont les lois de De Morgan :

$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ (2);
$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
$A \subset B$ si et seulement si $B^c \subset A^c$, c'est évident sur un dessin mais est que ça se démontre ?
Plus dur (pour moi), démontrer que la première relation implique la seconde.

balf
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Re: Tribu trace

Message par balf »

Pour (1), dit en français, c'est que l'énoncé « tout ce qui est dans A est dans B » revient à dire que « ce qui n'est pas dans B ne peut être dans A ». C'est bien le passage à l'énoncé contraposé, non ?

Pour arriver à (2), il faut partir du fait que A ∩ B ⊂ A (resp. B) ; on en déduit aussitôt l'inclusion dans un sens. L'inclusion dans l'autre sens se fait par disjonction des cas.

B.A.

Tonn83
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Re: Tribu trace

Message par Tonn83 »

paspythagore a écrit :Est ce que le $A$ dans $\mathcal{A}$ veut bien dire $A\in\mathcal{A}$, i.e.$A$ est une tribu. Pour moi c'est évident pour que $\mathcal{A}_1$ soit une tribu.
"$A$ dans $\mathcal{A}$" signifie que $A$ appartient à $\mathcal{A}$ mais $A$ n'est pas une tribu. Une tribu est un ensemble de parties satisfaisant les propriétés que vous avez citées plus haut.
La tribu borélienne sur $\R$, c'est la tribu engendré par les intervalles ouverts de $\R$. Pour que cette tribu soit défini, il faut qu'elle soit engendrée par tous les intervalles ouvert de $\R$ (il y en a une infinité non dénombrable). Comment utiliser cette définition ?
Non et non. La tribu borélienne est certes engendrée par l'ensemble des intervalles ouverts de $\R$. Mais non, il existe d'autres ensembles de parties de $\R$ engendrant la tribu borélienne ! Elle est également engendrée par l'ensemble des segments de $\R$. Elle est aussi engendrée par l'ensemble des segments de $\R$ dont les bornes sont rationnelles. Ce troisième ensemble est dénombrable.
Et non, il ne s'agit pas de la définition d'une tribu borélienne. Ces affirmations ont toutefois toute leur importance puisqu'elles interviennent dans la définition même de la mesure de Lebesgue. On commence par définir la mesure de Lebesgue pour les segments : la mesure de $[a,b]$ vaut sa largeur $b-a$. Puis on prolonge à toute partie borélienne de $\R$. :)
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Tonn83