Inégalité

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
joanie58
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 11
Inscription : mercredi 08 octobre 2014, 14:48

Inégalité

Message par joanie58 »

Bonjour,

je doit montrer que $\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}\leq\frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-y)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(y-z)\mid}$

j'ai réussi à trouver que

$\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-z+y-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-y)+(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} \leq \frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} $

mais après je bloque...
pouvez-vous m'aider??

Merci

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3925
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Inégalité

Message par balf »

Il faut se rappeler que la fonction f(x)=x /(1+x) est croissante sur R+. L'inégalité demandée équivaut au fait que f(|x|) soit une norme sur R, c.-à-d. que

$$ \mathsf{\dfrac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \dfrac{|a|}{1+|a|}+\dfrac{|b|}{1+|b|}} $$ On regarde d'abord le cas où a et b sont de même signe, qu'on peut supposer positif. L'inégalité équivaut alors à
$$ \mathsf{(a+b)(1+a)(1+b) \leqslant (1+a+b)[a(1+b)+b(1+a)]}$$ et l'on peut récrire le membre de droite comme (a + b)(1 + a)(1 + b) + qq ch. (>0).

Reste à voir le cas où a et b sont de signes opposés. La croissance de f permet de montrer que f(|a + b|) $\leqslant$ f(|a|) ou f(|b|) semon le signe de a + b.

B.A.