[L3-M1] Distribution définie par une fonction

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Minibob59
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[L3-M1] Distribution définie par une fonction

Message par Minibob59 »

Bonjour à tous !

Je suis bloqué depuis un certain temps sur une question qui ne devrait pas être si compliquée...

On considère $a \in \mathbb{R}^N$ et on définit $G_a(x) = \vert x-a \vert^{2-N}$ où $\vert \cdot \vert $ est la norme euclidienne. Montrer que $G_a$ définit une distribution sur $\mathbb{R}^N$.

On peut donc se ramener à la dimension 1 en considérant : $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \vert x \vert^{-k}$ avec $k \in \mathbb{N}^\ast$, et chercher la distribution associée (on fait ensuite une simple translation puis une composition). J'ai essayé de recoller ça avec la distribution $\mathrm{vp}\dfrac{1}{x}$ et/ou ses dérivées, mais ça coince... (d'ailleurs, je n'arrive pas à calculer la dérivée de cette distribution valeur principale).

Quelqu'un aurait-il une piste à me proposer ?

Merci d'avance.
Minibob59 !

OG
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Re: [L3-M1] Distribution définie par une fonction

Message par OG »

Bonsoir

Ne faut-il pas juste montrer ici que $\int_{\R^N} G_a(x)\varphi(x) dx$ existe pour tout $\varphi$ $\mathcal{C}^\infty$ à support compact ?
Le seul pb éventuel est autour de $a$, mais l'exposant va bien.

O.G.

Minibob59
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Re: [L3-M1] Distribution définie par une fonction

Message par Minibob59 »

Pour moi, cette définition de la distribution $G_a$ n'est valable que si la fonction $G_a$ est $L^1_{\text{loc}}$ sur $\mathbb{R}^N$, ce qui n'est pas le cas ici (problème en 0). Par exemple, si je prends une fonction plateau $\phi$, à support dans $]-2, 2[$ et valant 1 sur $[-1, 1]$, je ne peux pas définir $\langle G_a, \phi \rangle$ avec cette formule...

Pour la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ (qui n'est pas dans $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})$), on contourne le problème en remarquant qu'elle est impaire, et en bricolant, on définit la distribution $\mathrm{vp}(\frac{1}{x})$, mais dans le cas de $G_a$, je n'y arrive pas...
Minibob59 !

OG
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Re: [L3-M1] Distribution définie par une fonction

Message par OG »

Bonsoir

Ce n'est pas parce qu'il y a un pb en 0 que la fonction n'est pas $L^1_{loc}$. Il faut bien regarder
l'exposant qui dépend de $N$, faire le changement de variables adéquat, etc.
En dimension 1, on ne tombe pas sur $1/x$.

O.G.

Minibob59
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Re: [L3-M1] Distribution définie par une fonction

Message par Minibob59 »

Effectivement, en dimension 3, après changement de variables en sphériques, on trouve quelque chose de parfaitement intégrable. Et cela se généralise, à la dimension quelconque supérieure ou égale à 3, sauf erreur de ma part.

Merci !
Minibob59 !