Représentation paramétrique du plan
Représentation paramétrique du plan
Soit le plan $P$ défini par son équation cartésienne: $x+2y-z-1=0$.
Ecrire une représention une représention paramétrique de ce plan.
Ecrire une représention une représention paramétrique de ce plan.
Re: Représentation paramétrique du plan
Bonjour,
Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
$$\left\{\begin{array}{l} {x=1-2t+k} \\ {y=t} \\ {z=k} \end{array}\right. {k\in {\mathbb R}\ , {t\in {\mathbb R}$$kojak a écrit :Bonjour,
Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
je peux faire comme ça par exemple?
Dernière modification par rebouxo le vendredi 30 janvier 2015, 15:06, modifié 1 fois.
Raison : correction de codes
Raison : correction de codes
Re: Représentation paramétrique du plan
Tout à fait.adem19s a écrit : je peux faire comme ça par exemple?
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
Donc écrire une représentation paramétrique du plan $P$ revient à résoudre l'équation $x+2y-z-1=0$ d'inconnus $x$,$y$,$z$.kojak a écrit :Tout à fait.adem19s a écrit : je peux faire comme ça par exemple?
Re: Représentation paramétrique du plan
Oui, à mon sens. Cette représentation paramétrique permet d'obtenir un point et un base de ce plan.adem19s a écrit : Donc écrire une représentation paramétrique du plan $P$ revient à résoudre l'équation $x+2y-z-1=0$ d'inconnus $x$,$y$,$z$.
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
Salut,
pour trouver la représentation paramétrique d'un plan, je faisais de la façon suivante:
1. Je commençais par trouver un vecteur perpendiculaire au plan (ici par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$).
2. Ensuite je cherche deux vecteurs $v_1, v_2$ perpendiculaires à ce vecteur, et linéairement indépendants (en 3 dimensions il existe un moyen très simple de les trouver, on met une des coordonnées à 0, on interchange les deux autres, et on ajoute un "-" devant une des deux), donc par exemple $v_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ et $v_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$ font l'affaire.
3. $v_1$ et $v_2$ vont en fait engendrer le plan $P$ qui passe par l'origine, il reste donc à trouver un point par lequel passe le plan, par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ et ainsi on obtient un plan $P$ d'équation:
$$(P): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad t, s \in \R.$$
Je ne sais pas si ça peut aider, mais ça illustre ce que kojak a dit, pour l'équation d'un plan sous forme paramétrique, il faut un point du plan et deux vecteurs directeurs qui forment une base du plan.
pour trouver la représentation paramétrique d'un plan, je faisais de la façon suivante:
1. Je commençais par trouver un vecteur perpendiculaire au plan (ici par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$).
2. Ensuite je cherche deux vecteurs $v_1, v_2$ perpendiculaires à ce vecteur, et linéairement indépendants (en 3 dimensions il existe un moyen très simple de les trouver, on met une des coordonnées à 0, on interchange les deux autres, et on ajoute un "-" devant une des deux), donc par exemple $v_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ et $v_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$ font l'affaire.
3. $v_1$ et $v_2$ vont en fait engendrer le plan $P$ qui passe par l'origine, il reste donc à trouver un point par lequel passe le plan, par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ et ainsi on obtient un plan $P$ d'équation:
$$(P): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad t, s \in \R.$$
Je ne sais pas si ça peut aider, mais ça illustre ce que kojak a dit, pour l'équation d'un plan sous forme paramétrique, il faut un point du plan et deux vecteurs directeurs qui forment une base du plan.
Re: Représentation paramétrique du plan
bonjour,
@wooddoo : façon bien compliquée de procéder, surtout que tu n'es pas nécessairement dans un espace euclidien, c'est à dire avec un produit scalaire, auquel cas, tu seras bien embêté de procéder ainsi..
@wooddoo : façon bien compliquée de procéder, surtout que tu n'es pas nécessairement dans un espace euclidien, c'est à dire avec un produit scalaire, auquel cas, tu seras bien embêté de procéder ainsi..
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Re: Représentation paramétrique du plan
Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?kojak a écrit :bonjour,
@wooddoo : façon bien compliquée de procéder, surtout que tu n'es pas nécessairement dans un espace euclidien, c'est à dire avec un produit scalaire, auquel cas, tu seras bien embêté de procéder ainsi..
Re: Représentation paramétrique du plan
Ben c'est à toi de nous le dire. On ne connaît pas dans quel espace tu travailles..adem19s a écrit : Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
@kojak J'utilisais cette méthode au lycée, où on travaillait dans $\R^n$.
Ce n'est sûrement pas la méthode la plus rapide et la plus simple, mais bon la géométrie n'a jamais été mon point fort en maths
Néanmoins, elle marche .
Tu utilises quoi comme méthode pour trouver l'équation paramétrique?
Ce n'est sûrement pas la méthode la plus rapide et la plus simple, mais bon la géométrie n'a jamais été mon point fort en maths
Néanmoins, elle marche .
Tu utilises quoi comme méthode pour trouver l'équation paramétrique?
Re: Représentation paramétrique du plan
Celle indiquée au début, et elle fonctionne très bien avec mes étudiants :woodoo a écrit : Tu utilises quoi comme méthode pour trouver l'équation paramétrique?
@woodoo : et pour une droite définie par intersection de 2 plans, tu fais comment pour en avoir une représentation paramétrique, c'est à dire un point et un vecteur ?adem19s a écrit :$$\left\{\begin{array}{l} {x=1-2t+k} \\ {y=t} \\ {z=k} \end{array}\right. {k\in {\mathbb R}\ , {t\in {\mathbb R}$$kojak a écrit : Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
je peux faire comme ça par exemple?
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
@kojak Avec l'exemple suivant: $(\alpha): x-2y+z+3=0$ et $(\beta): x+y-3z-2=0$.
Pour trouver une équation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans, je pose d'abord par exemple $x=1$ et je résous le système
$$\begin{cases} 1-2y+z+3=0\\ 1+y-3z-2=0 \end{cases}$$
et on trouve $y=\frac{11}{5}$ et $z = \frac{2}{5}$, donc un point $A=\begin{pmatrix} 1\\ 11/5\\ 2/5 \end{pmatrix}$.
Ensuite la même chose avec $y=1$ ce qui donne $x= -\frac{1}{2} = z$, donc un point $B = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix}$.
Donc l'équation de la droite est donnée par un point (par exemple $B$) et un vecteur directeur (par exemple $-AB$), c'est-à-dire
$$(d): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3/2\\ 6/5\\ 9/10\end{pmatrix}.$$
(je ne garantis pas l'exactitude des résultats, car j'ai resorti mes vieux exercices , mais c'est l'idée )
Pour trouver une équation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans, je pose d'abord par exemple $x=1$ et je résous le système
$$\begin{cases} 1-2y+z+3=0\\ 1+y-3z-2=0 \end{cases}$$
et on trouve $y=\frac{11}{5}$ et $z = \frac{2}{5}$, donc un point $A=\begin{pmatrix} 1\\ 11/5\\ 2/5 \end{pmatrix}$.
Ensuite la même chose avec $y=1$ ce qui donne $x= -\frac{1}{2} = z$, donc un point $B = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix}$.
Donc l'équation de la droite est donnée par un point (par exemple $B$) et un vecteur directeur (par exemple $-AB$), c'est-à-dire
$$(d): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3/2\\ 6/5\\ 9/10\end{pmatrix}.$$
(je ne garantis pas l'exactitude des résultats, car j'ai resorti mes vieux exercices , mais c'est l'idée )
Re: Représentation paramétrique du plan
Toujours aussi compliqué à ce que je vois
Un bon coup de pivot de Gauss et c'est fini
Un bon coup de pivot de Gauss et c'est fini
Pas d'aide par MP.
Re: Représentation paramétrique du plan
Ahhh oui avec le pivot de Gauss c'est pas mal . À l'époque mon prof n'avait pas encore introduit cette méthode pour la résolution de systèmes d'équations.
Alors j'ai appris quelque chose .
Alors j'ai appris quelque chose .
Re: Représentation paramétrique du plan
Pour trouver une représentation paramétrique de cette droitewoodoo a écrit :@kojak Avec l'exemple suivant: $(\alpha): x-2y+z+3=0$ et $(\beta): x+y-3z-2=0$.
Pour trouver une équation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans, je pose d'abord par exemple $x=1$ et je résous le système
$$\begin{cases} 1-2y+z+3=0\\ 1+y-3z-2=0 \end{cases}$$
et on trouve $y=\frac{11}{5}$ et $z = \frac{2}{5}$, donc un point $A=\begin{pmatrix} 1\\ 11/5\\ 2/5 \end{pmatrix}$.
(je ne garantis pas l'exactitude des résultats, car j'ai resorti mes vieux exercices , mais c'est l'idée )
il suffit de résoudre le système :
$$\begin{cases} x-2y+z+3=0\\ x+y-3z-2=0 \end{cases}$$..calculer $x$ et y en fonction de $z$...puis on posant $z=t$ on trouvera :
$$\begin{cases} x=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}t\\ y=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}t\\z=t \end{cases} , t\in \mathbb{R}$$
Re: Représentation paramétrique du plan
il est euclidien.kojak a écrit :Ben c'est à toi de nous le dire. On ne connaît pas dans quel espace tu travailles..adem19s a écrit : Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?
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