Représentation paramétrique du plan

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adem19s
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Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

Soit le plan $P$ défini par son équation cartésienne: $x+2y-z-1=0$.
Ecrire une représention une représention paramétrique de ce plan.
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

Bonjour,

Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
Pas d'aide par MP.
adem19s
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

kojak a écrit :Bonjour,

Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
$$\left\{\begin{array}{l} {x=1-2t+k} \\ {y=t} \\ {z=k} \end{array}\right. {k\in {\mathbb R}\ , {t\in {\mathbb R}$$
je peux faire comme ça par exemple?
Dernière modification par rebouxo le vendredi 30 janvier 2015, 15:06, modifié 1 fois.
Raison : correction de codes
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

adem19s a écrit : je peux faire comme ça par exemple?
Tout à fait.
Pas d'aide par MP.
adem19s
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

kojak a écrit :
adem19s a écrit : je peux faire comme ça par exemple?
Tout à fait.
Donc écrire une représentation paramétrique du plan $P$ revient à résoudre l'équation $x+2y-z-1=0$ d'inconnus $x$,$y$,$z$.
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

adem19s a écrit : Donc écrire une représentation paramétrique du plan $P$ revient à résoudre l'équation $x+2y-z-1=0$ d'inconnus $x$,$y$,$z$.
Oui, à mon sens. Cette représentation paramétrique permet d'obtenir un point et un base de ce plan.
Pas d'aide par MP.
woodoo
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par woodoo »

Salut,

pour trouver la représentation paramétrique d'un plan, je faisais de la façon suivante:
1. Je commençais par trouver un vecteur perpendiculaire au plan (ici par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$).
2. Ensuite je cherche deux vecteurs $v_1, v_2$ perpendiculaires à ce vecteur, et linéairement indépendants (en 3 dimensions il existe un moyen très simple de les trouver, on met une des coordonnées à 0, on interchange les deux autres, et on ajoute un "-" devant une des deux), donc par exemple $v_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$ et $v_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$ font l'affaire.
3. $v_1$ et $v_2$ vont en fait engendrer le plan $P$ qui passe par l'origine, il reste donc à trouver un point par lequel passe le plan, par exemple $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ et ainsi on obtient un plan $P$ d'équation:
$$(P): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad t, s \in \R.$$

Je ne sais pas si ça peut aider, mais ça illustre ce que kojak a dit, pour l'équation d'un plan sous forme paramétrique, il faut un point du plan et deux vecteurs directeurs qui forment une base du plan.
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

bonjour,

@wooddoo : façon bien compliquée de procéder, surtout que tu n'es pas nécessairement dans un espace euclidien, c'est à dire avec un produit scalaire, auquel cas, tu seras bien embêté de procéder ainsi..
Pas d'aide par MP.
adem19s
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

kojak a écrit :bonjour,

@wooddoo : façon bien compliquée de procéder, surtout que tu n'es pas nécessairement dans un espace euclidien, c'est à dire avec un produit scalaire, auquel cas, tu seras bien embêté de procéder ainsi..
Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

adem19s a écrit : Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?
Ben c'est à toi de nous le dire. On ne connaît pas dans quel espace tu travailles..
Pas d'aide par MP.
woodoo
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par woodoo »

@kojak J'utilisais cette méthode au lycée, où on travaillait dans $\R^n$.
Ce n'est sûrement pas la méthode la plus rapide et la plus simple, mais bon la géométrie n'a jamais été mon point fort en maths :mrgreen:
Néanmoins, elle marche :) .

Tu utilises quoi comme méthode pour trouver l'équation paramétrique?
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

woodoo a écrit : Tu utilises quoi comme méthode pour trouver l'équation paramétrique?
Celle indiquée au début, et elle fonctionne très bien avec mes étudiants :
adem19s a écrit :
kojak a écrit : Une équation à 3 inconnues donc 2 paramètres que je te laisse le soin de choisir.
$$\left\{\begin{array}{l} {x=1-2t+k} \\ {y=t} \\ {z=k} \end{array}\right. {k\in {\mathbb R}\ , {t\in {\mathbb R}$$
je peux faire comme ça par exemple?
@woodoo : et pour une droite définie par intersection de 2 plans, tu fais comment pour en avoir une représentation paramétrique, c'est à dire un point et un vecteur ?
Pas d'aide par MP.
woodoo
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par woodoo »

@kojak Avec l'exemple suivant: $(\alpha): x-2y+z+3=0$ et $(\beta): x+y-3z-2=0$.
Pour trouver une équation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans, je pose d'abord par exemple $x=1$ et je résous le système
$$\begin{cases} 1-2y+z+3=0\\ 1+y-3z-2=0 \end{cases}$$
et on trouve $y=\frac{11}{5}$ et $z = \frac{2}{5}$, donc un point $A=\begin{pmatrix} 1\\ 11/5\\ 2/5 \end{pmatrix}$.
Ensuite la même chose avec $y=1$ ce qui donne $x= -\frac{1}{2} = z$, donc un point $B = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix}$.
Donc l'équation de la droite est donnée par un point (par exemple $B$) et un vecteur directeur (par exemple $-AB$), c'est-à-dire
$$(d): \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3/2\\ 6/5\\ 9/10\end{pmatrix}.$$

(je ne garantis pas l'exactitude des résultats, car j'ai resorti mes vieux exercices :lol: , mais c'est l'idée ;) )
kojak
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par kojak »

Toujours aussi compliqué à ce que je vois :D

Un bon coup de pivot de Gauss et c'est fini :lol:
Pas d'aide par MP.
woodoo
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par woodoo »

Ahhh oui avec le pivot de Gauss c'est pas mal :). À l'époque mon prof n'avait pas encore introduit cette méthode pour la résolution de systèmes d'équations.
Alors j'ai appris quelque chose ;).
adem19s
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

woodoo a écrit :@kojak Avec l'exemple suivant: $(\alpha): x-2y+z+3=0$ et $(\beta): x+y-3z-2=0$.
Pour trouver une équation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans, je pose d'abord par exemple $x=1$ et je résous le système
$$\begin{cases} 1-2y+z+3=0\\ 1+y-3z-2=0 \end{cases}$$
et on trouve $y=\frac{11}{5}$ et $z = \frac{2}{5}$, donc un point $A=\begin{pmatrix} 1\\ 11/5\\ 2/5 \end{pmatrix}$.


(je ne garantis pas l'exactitude des résultats, car j'ai resorti mes vieux exercices :lol: , mais c'est l'idée ;) )
Pour trouver une représentation paramétrique de cette droite
il suffit de résoudre le système :
$$\begin{cases} x-2y+z+3=0\\ x+y-3z-2=0 \end{cases}$$..calculer $x$ et y en fonction de $z$...puis on posant $z=t$ on trouvera :
$$\begin{cases} x=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}t\\ y=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}t\\z=t \end{cases} , t\in \mathbb{R}$$
adem19s
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Re: Représentation paramétrique du plan

Message non lu par adem19s »

kojak a écrit :
adem19s a écrit : Est ce que l'espace où nous travaillons n'est pas un espace euclidien?
Ben c'est à toi de nous le dire. On ne connaît pas dans quel espace tu travailles..
il est euclidien.
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