[Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

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watcherfr
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[Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par watcherfr »

Bonjour,
Je suis en train de repotasser le Grafione d'algèbre linéaire et je ne comprends pas une solution d'exemple du chapitre 2.3 Applications aux familles libres et aux familles génératrice de la méthode du pivot.

L'énoncé de l'exemple VI en question est:
Déteminer les équations du sous espace R(5) engendré par les vecteurs v1,v2,v3
où v1,v2,v3 sont donnés avec 5 composantes.

La première ligne de la solution est
Une équation quelconque du système est du type a.x1 + b.x2 + c.x3 + d.x4 + e.x5 =0
Mes questions sont
  • Qu'est-ce qui justifie que les équations soient de cette forme, tout particulièrement qu'elles portent sur les composantes de chaque vecteur ?
  • Qu'est-ce qui justifie qu'il n y ait pas de terme constant à droite des équations ?
Merci!

Minibob59
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Re: [Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par Minibob59 »

Bonjour,
watcherfr a écrit : Qu'est-ce qui justifie que les équations soient de cette forme [...] ?
On cherche ici à caractériser un sous-espace vectoriel. Supposons qu'il soit caractérisé par un système de $k$ équations $F_i(x_1, ..., x_5) = 0$ (il s'agit bien du système d'équations le plus général). Si $x$ et $y$ sont dans ce sous-espace que j'appellerai dorénavant $G$, alors $x+\lambda y$ appartient également à $G$ pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$. On en déduit que $F_i(x) + \lambda F_i(y) = 0 = F_i(x + \lambda y)$ pour tous $x, y, \lambda$. Ceci implique que les équations sont linéaires, donc de la forme indiquée dans la solution.
watcherfr a écrit : [Qu'est-ce qui justifie que les équations] portent sur les composantes de chaque vecteur ?
On veut caractériser l'appartenance de vecteurs à un espace, il faut donc a priori considérer toutes les composantes pour déterminer une équation. Néanmoins, il est possible que des coefficients de l'équation soient nuls.
watcherfr a écrit : Qu'est-ce qui justifie qu'il n y ait pas de terme constant à droite des équations ?
Un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul, donc le terme constant est nul (mais on l'a déjà montré par le raisonnement précédent).
Minibob59 !

watcherfr
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Re: [Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par watcherfr »

Très clair ! Merci pour la réponse rapide.

watcherfr
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Re: [Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par watcherfr »

Petite curiosité : les équations dont il est question sont des produits scalaires donc les xi solution définissent des hyperplans. Comme chaque équation doit être remplie, on a une intersection d'hyperplans.

Est-ce à dire que tout sev d'un ev de dimension finie est intersection d'hyperplans différents ?

Minibob59
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Re: [Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par Minibob59 »

watcherfr a écrit :Petite curiosité : les équations dont il est question sont des produits scalaires donc les xi solution définissent des hyperplans. Comme chaque équation doit être remplie, on a une intersection d'hyperplans.

Est-ce à dire que tout sev d'un ev de dimension finie est intersection d'hyperplans différents ?
Oui, et on a même mieux : la codimension du sev est égale au rang de la famille des formes linéaires dont les hyperplans sont les noyaux, résultat toujours vrai quand l'espace "ambiant" est de dimension quelconque.
Minibob59 !

stepsx
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Re: [Prépa] Equations d'un sous-espace vectoriel

Message par stepsx »

Je ne comprends pas trop la méthode utilisée.
Pourquoi ne prend-t-on pas un x dans le sous espace engendré par v1 v2 et v3 et ne determine-t-on pas les equations de cette façon (x=av1+bv2+cv3 a,b,c réels) ?