Géométrie euclidienne : limite d'un rapport d'angle

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Noah
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Inscription : jeudi 05 août 2010, 18:30

Géométrie euclidienne : limite d'un rapport d'angle

Message par Noah »

Bonjour,

dans $\mathbb{R}^n$ muni de sa structure usuelle d'espace euclidien, j'ai un vecteur non nul fixé $\vec{u}$ et un variable $\vec{v}$ que je fais tendre vers $k\vec{u}$ où $k$ est un réel >0. Je pose $\beta$ l'angle orienté $(\vec{u},\vec{u}+\vec{v})$ et $\alpha=(\vec{u}+\vec{v},\vec{v})$. Je cherche à montrer qu'alors, $\beta/\alpha$ tend vers $k$.

Bon, sans perte de généralité on peut supposer $\Vert\vec{u}\Vert=1$, et je note alors $v$ la norme de $\vec{v}$. J'obtiens sans trop de problèmes :

$$\displaystyle{\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{1+v\cos(\alpha+\beta)}{v+\cos(\alpha+\beta)}}$$
Mais c'est là que ça se complique, je bidouille "à la physicienne" avec des DL à l'ordre 2 et je trouve bien le résultat, mais en bidouillant différemment j'obtiens à peu près n'importe quel résultat : $\beta/\alpha \rightarrow 1,k$, ou même $\sqrt{k}$...

Si je suis persuadé que le rapport tend bien vers $k$, c'est que j'en ai besoin pour clore une démonstration de 15 pages j'ai fait une simulation avec geogebra et c'est plutôt convaincant.

Là où le bât blesse c'est que l'analyse n'est pas mon fort et j'ai toujours eu du mal à manipuler correctement les $o(),O()$ et autres équivalents... En essayant de rendre mes calculs rigoureux, il m'a semblé qu'il était nécessaire de prouver au préalable que $\beta/\alpha$ admet une limite finie, et ça ne m'a pas paru plus simple à faire que de prouver le résultat.

En résumé, j'ai une "démonstration" mais elle ne me satisfait pas du point de vue de la rigueur. Donc si quelqu'un voulait bien m'indiquer une piste ... Ou même, comment aborderiez-vous ce problème ? À moins qu'il ne soit intrinsèquement complexe, je suis persuadé qu'il existe une approche simple qui permet de le régler en deux coups de cuiller à pot