Dérivée

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

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Dassault
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Dérivée

Message par Dassault »

Salut,
Je sais pas comment résoudre ce problème, j'arrive pas à poser une équation qui met en lien les différents éléments:

"Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties de manière à pouvoir former un triangle équilatéral avec l'une et un carré avec l'autre. Comment faut-il couper ce fil pour que l'aire totale des deux figures construites soit:
a. maximale
b. minimale?"

jcs
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Re: dérivée

Message par jcs »

Bonsoir

écrivez que L est le périmètre du carré et du triangle équilatéral
en appelant $x$ la longueur du côté du triangle et $ y$ celle du carré En déduire une écriture de $y $en fonction de $x$ et de L

écrivez l'aire du triangle et celle du carré en fonction de $ x$ puis étudiez la fonction qui à $x$ associe l'aire totale

balf
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Re: dérivée

Message par balf »

Pour calculer l'aire du triangle équilatéral dont le périmètre est connu, le plus simple est d'utiliser la formule de Héron d'Alexandrie : p étant le demi-périmètre d'un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b,c, l'aire est égale à

$$\math A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Dassault
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Re: dérivée

Message par Dassault »

Je dois faire quelque chose de faux parce que quand j'étudie l'aire en fonction de x, A(x) ça me donne une valeur négative pour le coté du triangle

rebouxo
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Re: dérivée

Message par rebouxo »

Dassault a écrit :Je dois faire quelque chose de faux parce que quand j'étudie l'aire en fonction de x, A(x) ça me donne une valeur négative pour le coté du triangle
Et bien dis nous ce que tu fais. On pourra t'aider.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

Dassault
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Re: dérivée

Message par Dassault »

J'ai:

périmètre: L = 4x + 3y donc x = (L - 3y)/4
aire: x^2 + (√3*y^2)/4

donc je dois dérivé: ((L - 3y)/4)^2 + (√3*y^2)/4

et là je trouve: -3L/8 + 9y/8 +√3*y/2

jcs
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Re: dérivée

Message par jcs »

en prenant $x$ pour la longueur du côté du carré et y celle du triangle
l'aire est bien $x^2+\dfrac{\sqrt{3}y^2}{4}$
soit en remplaçant $\dfrac{(L-3y)^2}{16}+\dfrac{4\sqrt{3}y^2}{16}=\dfrac{L^2-6Ly+(9+4\sqrt{3})y^2}{16}$

Dérivez

Dassault
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Re: dérivée

Message par Dassault »

En dérivant je trouve:

A'(y) = -3L/8 + (9+4√3)y/8

Mais j'arrive pas à trouver de maximum ou de minimum avec cette fonction

jcs
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Re: Dérivée

Message par jcs »

la dérivée s'annule pour $ y=\dfrac{L(9-4\sqrt{3})}{11}$
la fonction admet un extremum pour les valeurs où la dérivée s'annule en changeant de signe
vous avez un polynôme de degré 2 avec le coefficient de $ y^2$ positif minimum pour la valeur précédente $ y=\dfrac{L(9-4\sqrt{3})}{11}$

Dassault
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Re: Dérivée

Message par Dassault »

Ok, j'arrive à trouver le minimum, mais pour le maximum la logique pour voudrait que l'on ne construise que le carré, mais y a-t-il un moyen de la calculer? Par exemple en cherchant la limite de f(x) lorsqu'elle tend vers -/+ l'infini?

kojak
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Re: Dérivée

Message par kojak »

bonjour,
Dassault a écrit : Par exemple en cherchant la limite de f(x) lorsqu'elle tend vers -/+ l'infini?
Je crois qu'avant toute chose, il faut pas oublier de déterminer l'ensemble de définition de ta fonction. Ton fil serait-il infini ? j'en doute, non ?
Pas d'aide par MP.

jcs
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Re: Dérivée

Message par jcs »

bonsoir
vous avez comme relation $ 4x+3y=L$
n'oubliez pas que $ x$ et$ y$ sont des longueurs

Dassault
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Re: Dérivée

Message par Dassault »

Je vois pas vraiment en quoi ça m'aide pour trouver le maximum?

jcs
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Re: Dérivée

Message par jcs »

Puisque ce sont des longueurs $x$ et $y$ doivent être positifs

$x\geqslant 0$ entraîne$ \dfrac{L-3y}{4}\geqslant 0$ d'où $y\leqslant \dfrac{L}{3}$ par conséquent $0\leqslant y\leqslant \dfrac{L}{3}$

on en déduit alors que $0\leqslant x\leqslant \dfrac{L}{4}$ Pour cette dernière valeur,on a le cas où il n'existe que le carré

Dassault
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Re: Dérivée

Message par Dassault »

Ok j'ai compris merci