[TS] Suites

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Mr.Ness
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[TS] Suites

Message par Mr.Ness »

Bonjours

J'ai un DM de maths à faire et je bloque dans les premières questions il est demandé d'effectuer un travail sur une feuille de calcule
Ce que j'ai fais seulement je ne vois pas comment répondre aux questions.
j'ai répondu à la première les valeurs de "a" doivent appartenir a R+.
Mais ensuite on demande pour quelles valeurs de "a" la suite est décroissante ou croissante tout ce que je constate c'est que la suite est décroissante puis constante pour n'importe quelle valeurs de "a".
me suis-je trompé ?

Voici le DM : http://hpics.li/bc194ed

Voici ma feuille de calc : http://hpics.li/2c26553

rebouxo
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Re: Dm Terminale S

Message par rebouxo »

Tiens, tiens, un Havrais ?
Pour la partie A, il s'agit de tes constatations, donc tout ce que tu constates est bon. Maintenant, quelles valeurs de $a$ as-tu testé ? As-tu fait preuve d'assez d'imagination ? :D

Es-tu sur que la suite est constante ? Moi, je me méfierais de l'informatique, mais bon c'est moi :mrgreen:

Olivier
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Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

Un havrais effectivement :lol:

je viens de tester plusieurs valeurs, j'en ai déduis que la suite est croissante sur l'intervalle 1 à environ 3.14
et décroissante de environ 3.14 à +l'infinie.

donc sur 1 à 3.14 la suite est minoré par "a" et sur 3.14 à + l'infinie elle est majoré par "a".

La suite semble tendre vers 3.146193221, comment déterminer cette valeurs de manière exacte ?

rebouxo
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Re: Dm Terminale S

Message par rebouxo »

Mr.Ness a écrit :Un havrais effectivement :lol:
Et même un Siegfriedien !
Mr.Ness a écrit : je viens de tester plusieurs valeurs, j'en ai déduis que la suite est croissante sur l'intervalle 1 à environ 3.14
et décroissante de environ 3.14 à +l'infinie.
Il faut un maximum d'essai. Pourquoi tu te limites aux valeurs plus grandes que 1 ?
Mon côté prof d'ISN (gniark gniark...), me fais remarquer que le forum peut afficher des formules mathématiques.
Pour 'linfini c'est $\infty$ (passe la souris dessus pour voir le code). Il faut mettre les maths entre dollars.
Mr.Ness a écrit : donc sur 1 à 3.14 la suite est minoré par "a" et sur 3.14 à + l'infinie elle est majoré par "a".
C'est quoi tes arguments pour dire cela ?
Mr.Ness a écrit : La suite semble tendre vers 3.146193221, comment déterminer cette valeurs de manière exacte ?
Pour le coup, on ne connaîtra pas une formule donnant la limite. Avec le type de fonction, on sait que la suite est convergente, mais on ne peut donner que des valeurs approchées de la limite. Dans les techniques d'approximations numériques de solutions d'équations, la technique de la suite récurrente est un classique. Les algorithmes récursifs (c-à-d à base de suites récurrentes) sont simples et élégants à énoncer.

Olivier
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Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

Et même un Siegfriedien !
:D :D

Alors comme la suite est croissante et strictement monotone sur $[1;3.14]$ le minorant va être $U_0$ soit $a$ et sur $[3.14;+\infty[$
La suite est décroissante strictement monotone donc le majorant va être $a$. (Hehehey I've got The Latex Style :lol: :lol: )

Ensuite lorsque vous dites pourquoi tester seulement des valeurs supérieur à 1, il me semble que ce qui se trouve dans le logarithme népérien doit être supérieur ou égale à 1.

enfin montrer que la suite est convergente avec la récurrence vu que la suite est logarithmique je ne vois pas du tout comment faire :?: :?:

rebouxo
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Re: Dm Terminale S

Message par rebouxo »

Mr.Ness a écrit : Alors comme la suite est croissante et strictement monotone sur $[1;3.14]$ le minorant va être $U_0$ soit $a$ et sur $[3.14;+\infty[$
La suite est décroissante strictement monotone donc le majorant va être $a$. (Hehehey I've got The Latex Style :lol: :lol: )
You've got the LaTeX style, but you need to have the math style. (encore 3 phrases comme celle-là, un peu de musique et on tient le prochain tube ;-]].
Tu as prouvé que la suite est croissante ? Comment ?
Il va falloir revoir les théorèmes de convergence des suites. La suite $U_n = n$, ($n \in \N$) est une suite croissante, minorée par $0$, mais bon cela ne la fait pas converger !
Mr.Ness a écrit : Ensuite lorsque vous dites pourquoi tester seulement des valeurs supérieur à 1, il me semble que ce qui se trouve dans le logarithme népérien doit être supérieur ou égale à 1.
Je pense qu'une bonne lecture du cours (ou même mieux un résumé personnel du cours sur $\ln$ serait une bonne chose.
Mr.Ness a écrit : enfin montrer que la suite est convergente avec la récurrence vu que la suite est logarithmique je ne vois pas du tout comment faire :?: :?:
Je ne crois pas que cela soit au programme de TS de démontrer la convergence via une récurrence. Par contre, il me semble que l'on peut démontrer qu'une suite est croissante via récurrence en TS.

Il y a des imprécisions qu'il faut corriger (définitivement serait une bonne idée, mais cela risque de prendre du temps). Le chemin est long, mais c'est beau en haut.
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balf
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Re: Dm Terminale S

Message par balf »

@Rebouxo: Ad augusta per angusta

Cela dit, en terminale S, ils n'ont plus de critère de croissance ou décroissance d'une suite récurrente à partir de la lecture du simple graphe de la fonction ?

B.A.

kojak
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Re: Dm Terminale S

Message par kojak »

bonjour,
balf a écrit : Cela dit, en terminale S, ils n'ont plus de critère de croissance ou décroissance d'une suite récurrente à partir de la lecture du simple graphe de la fonction ?
Non, et en plus ce théorème porte à confusion pour les élèves entre les suites définies par $u_n=f(n)$ et $u_{n+1}=f(u_n)$
Pas d'aide par MP.

kojak
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Re: Dm Terminale S

Message par kojak »

@Mr Ness : pour une suite majorée il n'y pas qu'un seul majorant, donc on dit plutôt un majorant, et non Le majorant.
Pas d'aide par MP.

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

Hahahahaha c'est sur le tube du siècle pour le titre de la chanson je propose : "Les suites logarithmiques ça pique" pour les part on fait 70% - 30% Bien entendu les 70% seront pour moi :lol: :lol:

Bien, pour le moment je doit prouver mes hypothèse pour le fait quel a suite soit croissante et décroissante j’utiliserai la récurrence avec $U_{n+1}-U_n>0$ et $U_{n+1}-U_n<0$

donc le deuxième tiret de la partie A est mis de coté, pour montrer que la suite est majorée et minorée j’utiliserai les propriété de du cours.

j'ai maintenant deux problème :

donc le premier tiret le domaine de définition m'avez dis qu'il fallait revoir le cours et c'est ce que je suis allé faire, et j'ai confirmer ma pensée par une recherche internet :
On appelle On appelle
fonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réel x >0 associe le réel ln(x) [...]

Source : http://www.lyc-plaineneauphle-trappes.a ... f/logn.pdf
Donc je ne vois pas ou vous voulez en venir.

Ensuite dans la parie A de l'exercice il est demandé de simple conjecture mais il n'est pas demander de les prouver, mais dans la partie B il est demandé de les décrires je ne comprend pas vraiment le sens de cette question.

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

kojak a écrit :@Mr Ness : pour une suite majorée il n'y pas qu'un seul majorant, donc on dit plutôt un majorant, et non Le majorant.
Effectivement merci pour la remarque

kojak
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Re: Dm Terminale S

Message par kojak »

Mr.Ness a écrit : Bien, pour le moment je doit prouver mes hypothèse pour le fait quel a suite soit croissante et décroissante j’utiliserai la récurrence avec $U_{n+1}-U_n>0$ et $U_{n+1}-U_n<0$
Oui et quelles sont les différentes étapes de ta récurrence ?
Mr.Ness a écrit : Ensuite dans la parie A de l'exercice il est demandé de simple conjecture mais il n'est pas demander de les prouver, mais dans la partie B il est demandé de les décrire je ne comprend pas vraiment le sens de cette question.
Cela signifie que dans la partie A, tu vois avec tes yeux ce qu'il se passe, donc tu as l'impression que ta suite est .. et dans la partie B, ben tu vas le démontrer proprement :D

Par exemple pour la B question 4 avec $a=1$.

Pour la a) tu as l'impression que ta suite est comment (variations) ? majorée ou minorée par qui ?

Dans la b) :ben faut démontrer touy ceci, je te rassure en faisant une récurrence pour les variations et une pour majorée ou minorée. Et ensuite tu pourras conclure.

Idem pour la question 5.

As tu déjà répondu à la question 3 partie B ? en justifiant, bien entendu :wink:
Pas d'aide par MP.

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

Ok Bah pour l'instant,

J'ai mes 4 Hypothèse de la partie A, dites moi si vous y voyez des imprécisions ou des chose que je pourrais améliorer :

-Toute les valeurs de $a$ ne sont pas possible car la suite est logarithmique sachant que Ln est définie sur $\R_+$ (privé de 0).
Le domaine de définition de $U_n$ est $[1;+\infty]$.

-La suite semble croissante lorsque $a \in [1;3.14]$ et elle parait décroissante quand $a \in [3.14;+\infty[$

-La suite semble êtres minorée par $a$ lorsque $a \in [1;3.14]$ et majorée quand $a \in [3.14;+\infty[$

-La suite semble convergé vers 3.146193221

Ensuite le début de la partie B :

La formule dans la case B3 : =2+LN(B2)

Enfin j'arrive à la question ou il faut démontrer les 4 première hypothèse :
donc on veut montrer que $U_n$ est croissante quand $a \in [1;3.14]$

La proposition P est : $ U_{n+1}-U_n>0$

Initialisation : pour $n = 0$
$U_0=1$ et $2+ln(1)=2$
$2-1 =1$ et $1>0$
donc P est vrai au rang $n=0$

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que P soit vrai pour cet entier.

$U_{n+1}-U_n>0$
$2+ln(U_n)-U_n>0$ et la je bloque et le fait que $U_0$ soit variable est assez dépaysant

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

et je n'est pas encore entamé la suite de l'exercice

kojak
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Re: Dm Terminale S

Message par kojak »

Mr.Ness a écrit : -Toute les valeurs de $a$ ne sont pas possible car la suite est logarithmique
bof pas terrible ceci : dis plutôt la suite est définie à l'aide de la fonction $\ln$
Mr.Ness a écrit : sachant que Ln est définie sur $\R_+$ (privé de 0)
Oui
Mr.Ness a écrit :Le domaine de définition de $U_n$ est $[1;+\infty]$.
Non. donne déjà des valeurs de $a$ pour lesquelles tu auras du mal à calculer $u_1$
Mr.Ness a écrit :
-La suite semble croissante lorsque $a \in [1;3.14]$
Non, ce n'est pas tout à fait $1$.
Mr.Ness a écrit : et elle parait décroissante quand $a \in [3.14;+\infty[$
oui
Mr.Ness a écrit : -La suite semble êtres minorée par $a$ lorsque $a \in [1;3.14]$
oui c'est vrai, mais il y a encore mieux, au vu de ce que tu dois faire à la partie B.
Mr.Ness a écrit : et majorée quand $a \in [3.14;+\infty[$
oui
Mr.Ness a écrit : -La suite semble convergé vers 3.146193221
oui
Mr.Ness a écrit : Ensuite le début de la partie B :

La formule dans la case B3 : =2+LN(B2)

Enfin j'arrive à la question ou il faut démontrer les 4 première hypothèse :
donc on veut montrer que $U_n$ est croissante quand $a \in [1;3.14]$
Non ce n'est ni $1$ ni $3.14$, mais d’autres nombres ; tu as fait la question 3 ?
Mr.Ness a écrit : La proposition P est : $ U_{n+1}-U_n>0$
Non, pas judicieux écris plutôt $u_{n+1}>u_n$
Mr.Ness a écrit : Initialisation : pour $n = 0$
$U_0=1$ et $2+ln(1)=2$
$2-1 =1$ et $1>0$
donc P est vrai au rang $n=0$(/quote] oui

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que P soit vrai pour cet entier.

$U_{n+1}-U_n>0$
plutôt $u_{n+1}>u_n$
Mr.Ness a écrit : $2+ln(U_n)-U_n>0$
Non, inutile.

que cherches tu à démontrer ?

Ps : as tu fait un dessin sur GeoGebra ou autre, à la main, afin de voir graphiquement comment tu peux placer les points de la suite $u_n$ à l'aide de la fonction $f(x)=2+\ln x$

PS 2 : attention à l'orthographe :wink:
Pas d'aide par MP.

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

Rebonjour, après une petite absence je viens de m'y remettre,
kojak a écrit :Non. donne déjà des valeurs de $a$ pour lesquelles tu auras du mal à calculer $u_1$
la je ne comprends pas comment faire.

La question 3 me demande de démontrer que l'équation admet deux solutions je peux le faire à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires :
J'étudie l'équation $f(x) = 2+ ln(x) - x $

et je résous $f(x) = 0$

$f'(x) = 1/x - x$

la dérivée sera positive puis négative donc la fonction croissante puis décroissante on a donc deux solutions sur [0;1] et [1;+\infty[
avec le balayage je peux obtenir $\alpha$ mais je ne trouve pas $\beta$.

Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

quelque chose m’échappe dans la question 3 j'ai fais un tableau avec le signe de la dérivée et les variations de la fonction mais pour trouver ceci $x$ appartient à quel ensemble ?? car je trouve que la fonction est croissante sur [0;1] f(1)=1 mais f(0) n'est pas calculable ??? est-ce faux ?

kojak
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Re: Dm Terminale S

Message par kojak »

bonjour,
Mr.Ness a écrit :
kojak a écrit :Non. donne déjà des valeurs de $a$ pour lesquelles tu auras du mal à calculer $u_1$
la je ne comprends pas comment faire
Ben quel est le domaine de définition de la fonction $\ln$ ?

Ensuite, as tu essayé de prendre une valeur comme $u_0=0.1$ ? si oui ça te donne quoi ?

Edit : oui ici essaie de calculer $u_2$
Mr.Ness a écrit : J'étudie l'équation $f(x) = 2+ ln(x) - x $
Ce n'est pas une équation mais la fonction
Mr.Ness a écrit : la dérivée sera positive puis négative donc la fonction croissante puis décroissante on a donc deux solutions sur $[0;1]$
Euh tu es sûr en $0$ ? intervalle fermé ?
Mr.Ness a écrit : et $[1;+\infty[$
Oui
Mr.Ness a écrit : avec le balayage je peux obtenir $\alpha$
tu as entre combien et combien ?
Mr.Ness a écrit : mais je ne trouve pas $\beta$.
ben tu commence à combien ton balayage ?
Mr.Ness a écrit : mais f(0) n'est pas calculable ???
et le domaine de définition de la fonction $\ln$ ? C'est du cours ceci, non ?
Pas d'aide par MP.

rebouxo
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Re: Dm Terminale S

Message par rebouxo »

Salut Kojak ! Au cas ou tu n'aurais pas deviner c'est un élève de mon collègue de TS.

@ Mr. Ness : il est pénible l'ami Kojak, non ? On dirait ton prof habituel :D .

Olivier
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Mr.Ness
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Re: Dm Terminale S

Message par Mr.Ness »

rebouxo a écrit : @ Mr. Ness : il est pénible l'ami Kojak, non ? On dirait ton prof habituel :D .
:lol: :lol: :lol:

Eurêka!!!!!!

AAh oui effectivement le domaine de définition est $\R*_+$ mais moi dans ma tête lorsque j'ai exclu $0$ j'ai exclu les nombres de $0$ à $0.99$ aussi donc je commençais à $1$. je sais pas pourquoi d’ailleurs.

En faite ce que j'avais trouvé c'était $\beta$ et non $\alpha$. (Oh lala le boulet)

Mais oui tout est claire j'ai donc $0.15<\alpha<0.16$ et $3.14<\beta<3.15$