Equation de congruence

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kadtex
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Inscription : dimanche 25 novembre 2012, 18:43

Equation de congruence

Message par kadtex »

Bonjour

Etant donné l'équation: ax=b modulo n.

Dans le cas général, peut on affirmer que si l'inverse de a modulo n n'existe pas alors l'équation n'a pas de solutions.

Merci pour vos commentaires

kojak
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Re: equation cogruence

Message par kojak »

bonjour

Et alors ?

Pour info, ici personne ne fera l'exo à ta place. donc tu dis ce que tu as fait, tu éventuellement qqu'un t'aidera s'il en a l'envie et le temps.
Pas d'aide par MP.

kadtex
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Inscription : dimanche 25 novembre 2012, 18:43

Re: equation cogruence

Message par kadtex »

Ce n'est pas du tout un exercice à faire et à rendre, c'est juste pour voir si l'affirmation est vraie ou non dans le cas général.
Par exemple 6x= 9 modulo 15

6 et 15 ne sont pas premiers entre eux donc l'inverse de 6 modulo 15 n'existe pas.
Peut on dire que l'équation n'a pas de solutions ?

balf
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Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: equation cogruence

Message par balf »

Si, il y a des solutions, parce qu'on peut simplifier par 3:
$$6x\equiv 9\mod 15\iff 2x\equiv 3\mod 5$$
Comme 2 est inversible modulo 5, d'inverse 3, les solutions sont
$$x\equiv 3\cdot 3\equiv 4 \mod 5 .$$
Plus généralement, l'équation $ax\equiv b\mod m$ des solutions si et seulement si pgcd(a,m) divise b.
B.A.

kadtex
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Inscription : dimanche 25 novembre 2012, 18:43

Re: equation cogruence

Message par kadtex »

Bonjour balf

Merci pour ta réponse, c'est ce que je voulais savoir.
Avant, cela me paraissait curieux que l'inverse de 6 modulo 15 n'existe pas alors que l'équation, selon le théorème de Bezout, a des solutions!

Autrement dit, il faut mieux tester si pgcd(a,m) divise b que de se fier uniquement à:si a est inversible modulo m
Maintenant c'est clair!