Equation différentielle

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ArtyBours
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Equation différentielle

Message par ArtyBours »

Bonjour,

On définit:
$F(x)=\int e^{-x\sin(t)} dt$

Et on cherche à démontrer que F vérifie:
$xF''(x)+F'(x)-xF(x)=0$

On a :
$F'(x)=-\sin(t)\int e^{-x\sin(t)} dt=-\sin(t)F(x)$

$F''(x)=\sin^2(t)\int e^{-x\sin(t)} dt=\sin^2(t)F(x)$

En remplaçant dans l'équation, on a:

$x\sin^2(t)F(x)-\sin(t)F(x)-xF(x)=0$

Mais après ? Même avec mon formulaire trigonométrique sous la main je sèche :(
Si quelqu'un a une idée je suis preneur,

Cordialement,

Arty

kojak
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Re: Equation différentielle

Message par kojak »

Bonjour
ArtyBours a écrit :On définit:
$F(x)=\int e^{-xsin(t)} dt$
Il n'y a pas de bornes à ton intégrale ? bizarre, non ?
ArtyBours a écrit : $F'(x)=-sin(t)\int e^{-xsin(t)} dt=-sin(t)F(x)$
gloups.. tu crois que tu peux sortir le $\sin(t)$ de ton intégrale ? Tu trouves normal d'avoir une dérivée d'une fonction de la variable $x$ qui dépend aussi de $t$ ?

Sinon, je pense que ton équa diff est incorrecte.. Tu as la source ?
Pas d'aide par MP.

ArtyBours
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Re: Equation différentielle

Message par ArtyBours »

Oh mon dieu... Merci beaucoup kojak ! La fatigue aura ma peau pour faire des erreurs pareilles...
L'équation différentielle que je cite au début est celle fournie dans mon énoncé après j'ai effectué le remplacement de F' et F'' parce que j'avais trouvé qui était bien entendu faux...

Il y a bien des bornes $[-\pi /2;\pi /2]$ mea culpa

rebouxo
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Re: Equation différentielle

Message par rebouxo »

Sinon, $F$ ne serait une primitive d'une fonction ?

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.

ArtyBours
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Re: Equation différentielle

Message par ArtyBours »

@Oliver si en effet cf le début de l'énoncé.

En fait cela se resoud facilement, une fois que l'on a le $\sin^2(t)$ on le réécrit $1-\cos^2(t)$ et tout s'annule parfaitement.

Arty