Droite achevéee

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paspythagore
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Droite achevéee

Message par paspythagore »

Bonjour.
Je ne comprends pas l'égalité suivante :
$$\overline{\ds\lim_n}\;u_n=\ds\lim_n\downarrow(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)=\ds\inf_n(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)$$

$\overline{\ds\lim_n}\;u_n$ c'est la borne supérieure ($\in\overline{\R}$) de l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite ($u_n$).
C'est la plus grande valeur d'adhérence de ($u_n$).

$\ds\lim_n\downarrow(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)$ c'est la limite de la suite décroissante des $\sup u_k)$ quand $k\geqslant n$

$\ds\inf_n(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)$ je ne sais pas.

Je ne sais comment démontrer ces deux (3) égalités.

Merci de votre aide.

balf
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Re: Droite achevéee

Message par balf »

Pour moi, la limite supérieure est la limite (dans $\overline{\mathstrut\mathbf R\mkern-1mu}$) de la suite des sup. Elle est aussi la borne inférieure de l'ensemble des termes de cette suite, puisqu'il s'agit d'une suite décroissante.

B.A.

paspythagore
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Re: Droite achevéee

Message par paspythagore »

Bonsoir.
Pourquoi cette suite est décroissante ?
D'ailleurs de quelle suite parle y-on ?
Si on considére les 4 suites $u_n=\cos(n\pi/2)$, $v_n=1/n$ ($n>0$), $w_n=\cos(nx)$ et $t_n=xn$
A quoi correspondent $\overline{\ds\lim_n}\;u_n$, $\ds\lim_n\downarrow(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)$ et $\ds\inf_n(\ds\sup_{k\geqslant n}u_k)$ ?

$\overline{\ds\lim_n}\;u_n=1$
$\overline{\ds\lim_n}\;v_n=1$
$\overline{\ds\lim_n}\;u_n=1$
$\overline{\ds\lim_n}\;t_n=+\infty$
mais les $i_n$ et $\ds\sup_{k\geqslant n}i_k$ ($i\in\{u, v, w, t\}$)

balf
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Re: Droite achevéee

Message par balf »

La suite $\sup_{k\geqslant n}u_k$ est décroissante parce que tout simplement, pour deux ensembles de nombres réels $S\subset T$, $\sup(T)\ge\sup(S)$.

La limite supérieure de $(u_n)$ est bien égale à $1$, mais la limite supérieure de $(v_n)$ est $0$. De toute façon, si une suite converge vers une limite $\ell$, la limite supérieure n'est autre que le limite (idem pour la limite inférieure).

Pour la troisème, c'est juste si $x$ n'est pas un multiple rationnel de π, mais ce n'est pas trivial: cela résulte de ce que l'ensemble des $\cos(nx)$ est dense dans $[_1,1]$. Si $x$ est un multiple rationnel de π («commensurable à π »), la suite est périodique.

B.A.

paspythagore
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Re: Droite achevéee

Message par paspythagore »

balf a écrit :La suite $\sup_{k\geqslant n}u_k$ est décroissante parce que tout simplement, pour deux ensembles de nombres réels $S\subset T$, $\sup(T)\ge\sup(S)$.

B.A.
OK merci, je n'avais compris cela.
Je vais pouvoir continuer.