Formule : Somme de zeta

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acid24
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Formule : Somme de zeta

Message par acid24 »

Bonjour a tous ,

je cherche des idée de demo pour la formule suivante :

$$1-\gamma=\ds\sum_{k \geq 2} \frac{\zeta(k)-1}{k}$$

avec , "bien sur"

$$\gamma=\ds \lim_{n\rightarrow \infty} \left [ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n)\right ]$$

et

$$k \geq 2, ~\zeta(k)=\ds\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^k}$$

j'ai bien une petite idée , mais cela ne tient pas dans la marge ...;) en fait j'utilise $ \ln(2)= \ldots$ je l'exposerai plus tard ...

guiguiche
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Message par guiguiche »

A ta place, je posterai sur les-mathematiques.net et, à coup sûr, Borde ou l'un de ses accolytes va te répondre dans les minutes qui suivent (enfin peut-être compte tenu de l'heure tardive).

acid24
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Message par acid24 »

pourquoi pas :) en fait , cela me donne une idée , il pourrait y avoir une rubrique "formule" dans le forum , ou l'on posterai des belles formules avec les demos ou commentaires qui vont avec ...

MB
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Message par MB »

On a aussi la formule :

$$ \gamma = \ds\sum_{k \geq 2} (-1)^k \frac{\zeta(k)}{k} $$

Je ne connais pas les preuves de ces formules mais il semblerait qu'on les trouve dans Havil (2003).
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Arnaud
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Message par Arnaud »

La formule de MB se démontre par la dérivée logarihtmique de la fonction $\Gamma$.
Je n'ai pas eu le temps de voir si il y avait un lien avec la question de acid24....
Arnaud
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guiguiche
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Message par guiguiche »

La formule se trouve .

[Edit : pourquoi n'y a-t-il pas le lien ?]
[Edit: MB] J'ai remplacé le lien par un lien qui fonctionne (en fait il devait y avoir des caractères spéciaux refusés - je crois que c'est le signe % - dans le bbcode url comme ça arrive aussi avec les liens wikipédia parfois).
[edit2 : je me doutais que c'était ce fichu %. merci MB]
[Edit2: MB] Pas sûr en fait ! c'était peut être plutôt les {} ...
Dernière modification par guiguiche le jeudi 09 novembre 2006, 10:14, modifié 1 fois.

la main gauche
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Message par la main gauche »

La création d'une rubrique ``formules'' n'appelerait pas vraiment les gens qui pensent que ``DETOUTFASSONLEMATCEKEDEFORMULESNA'' (TM) à changer leur opinion étriquée.

Sinon pour la formule (le théorème?), as-tu essayé de comparer

$\ds\sum_{2\le k \le n} \frac{\zeta(k)}{k}$ et $\ds\sum_{2\le k \le n} \ln(k) - ln(k-1)$ ?

PS. Autre idée: que donne la formule d'Euler McLaurin pour $(\zeta(x) -1)/x$? --- pour la fonction $1/x - \ln(x) + \ln(x-1)$ on trouve $\gamma$, etc.

guiguiche
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Message par guiguiche »

La formule d'acid24 porte le numéro 116 dans le lien précédent. Mais je ne sais pas si les formules qui précèdent la prouve.

acid24
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Message par acid24 »

bien sur les maths ce n'est pas que des formules :) .... en fait je trouve cela interressant et etonnant ces formules .. je montre le debut de l'idée de ma demo:
je cherchais des formules pour $\ln(2)$

$\ln(2)=-\ln(\frac{1}{2})=-\ln(1-\frac{1}{2})=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k2^k}$ mais aussi
$\ln(2)=-\ln(\frac{1}{2})=-\ln(\frac{2}{3}\frac{3}{4})=-=-\ln(\frac{2}{3})-\ln(\frac{3}{4})=-\ln(1-\frac{1}{3})-\ln(1-\frac{1}{4})=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k})$

de même , sauf erreur
$\ln(2)=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\frac{1}{5^k}+\frac{1}{6^k}+\frac{1}{7^k}+\frac{1}{8^k}) $

ainsi de suite, puis je somme les lignes pour obtenir
$N\ln{2}=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k}) $
puis ensuite le cas k=1 on reconnait la somme harmonique qui va faire apparaitre $\gamma$ en me debarrassant des $N\ln(2)$
mais j'ai un souci pour intervertir $\sum$ et limite $N \rightarrow \infty $

@guiguiche : oui la formule est sur le site de Wolfram , cela m'a permis de me rassurer et de me dire que mon "delire sommatoire" devait surement tenir debout

@la main gauche : je vais regarder Mac laurin , mais cela suppose de connaitre les derivées de Zeta , et c'est au dela du niveau auquel j'aimerai limiter la demo: BAC+2

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Message par la main gauche »

On peut pudiquement cacher la formule d'Euler McLaurin derrière quelques IPP bien senties; j'en profite pour faire de la pub pour ma référence préférée conecernant cette formule, c'est le cours d'analyse de Godement (Tome II je crois me rappeler).
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rebouxo
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Message par rebouxo »

Puidiquement ?
Y a des choses coquines dans la fonction $\zeta$ ? :D
Doit-on interdir ce post au moins de 18 ?

Olivier

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Message par la main gauche »

La dernière fois que j'ai exposé la formule d'Euler Mc Laurin, à des bacs +2 toutes les filles de la salle se sont déshabillées (véridique!) et ont jeté leur sous-vêtements en, l'air; la dernière fois que je leur ai parlé de $\zeta$ ellles se sont tous jetées sur moi ... je te laisse imaginer ce qui se passerait en combinant les deux, c'est assez risqué !
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Arnaud
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Message par Arnaud »

Elle est où ta fac ? :D
Arnaud
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Mof
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Message par Mof »

la main gauche a écrit :La dernière fois que j'ai exposé la formule d'Euler Mc Laurin, à des bacs +2 toutes les filles de la salle se sont déshabillées (véridique!) et ont jeté leur sous-vêtements en, l'air; la dernière fois que je leur ai parlé de $\zeta$ ellles se sont tous jetées sur moi ... je te laisse imaginer ce qui se passerait en combinant les deux, c'est assez risqué !
difficile a croire de la part de quelqu'un qui s'appelle la main gauche ... :D
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Message par rebouxo »

Ouarrrfffff. :D
Non, en fait, c'est le rire des Gaulois dans Astérix.

Olivier

acid24
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Message par acid24 »

pffff , ça me rapelle juste qu'en prepa, dès que le prof disait $\ln(2)=0,69....$ les 5/2 hurlaient "cuiiiiisse" pour detendre l'atmosphère ...

bon , je reviens à mon raisonnement , si tout le monde est d'accord avec le début :) :

$N\ln{2}=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k}) $
en isolant pour k=1

$N\ln{2} -\ds\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i}= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k})$
soit

$\ln{2^N} -\ds\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i} +1= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i^k} -1)$
et la j'ai besoin d'intervertir limite et "sigma" , donc comment justifer ??

guiguiche
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Message par guiguiche »

acid24 a écrit :pffff , ça me rapelle juste qu'en prepa, dès que le prof disait $\ln(2)=0,69....$ les 5/2 hurlaient "cuiiiiisse" pour detendre l'atmosphère ...
C'est exactement ce que à quoi je pense lorsque je prononce cette approximation (vieux reflexe de 5/2) mais aucun élève ne m'a jamais fait ce genre de remarque et souvent, je me contente de 0,7 comme approximation pour éviter tout malentendu.

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Message par la main gauche »

Je rappelle que la proposition ``toutes les fois que Euler McLaurin bidule'' est vraie puisque je n'ai jamais exposé Euler McLaurin en deuxiéme année. Pas trop déçus j'espère ... ;)

Pour la main gauche, ça vient d'un groupe de musiciens.
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acid24
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Message par acid24 »

:crazyeyes: dites , par contre , est-ce que quelqu'un pourrait juste jeter un petit coup d'oeil au maths qu'il ya dans ce post, juste pour me dire si ma démarche semble ok ou non, et comment passer à la limite $N \rightarrow \infty$ dans

$\ln{2^N} -\ds\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i} +1= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i^k} -1)$

je sais que les calculs sont un peu lourds , mais bon c'est abordable étant donné les mathématiciens de haut vol (lèèèèche) qui trainent sur le forum ;)

guiguiche
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Message par guiguiche »

J'ai de gros trous dans ma mémoire concernant les hypothèses pour permuter deux sommes ou une somme et une limite.
Comment as-tu permuté la somme finie $\sum_{n=1}^{N}$ avec la somme infinie $\sum_{k=1}^{+\infty}$ avant même la première ligne de ce que tu écris ?