Expression paramérée

[kadtex]

Bonjour

Il s'agit d'étudier le signe de:

$A(x)=m(m-1)\times x^m\times[(m-2)x^2-m^2\times(2m-1)\times x^{2m}]$, $x$ réel positif et $m$ entier, $m\geq 2$

$m(m-1)\times x^m \geq 0$ car $m \geq 1$ et $x$ positif
Donc on étudie le signe de : $(m-2)x^2-m^2\times (2m-1)\times x^{2m}$
J'ai cherché et recherché et impossible de trouver quelque chose.
Ou, à moins que ce n'est pas faisable!

Merci pour vos commentaires

[rebouxo]

Tu dis que tu as recherché, mais qu'as-tu fais.

Personnellement, je commencerais par une figure GeoGebra avec un curseur.

Olivier

[kadtex]

Bonjour rebouxo

Alors j'ai utilisé Geogebra et voici ce que j'ai constaté:
m=2:sur ]-oo;+oo[ A(x)<0 et minimum=-18 (approximativement)
m=3:sur ]-7,5;7,5[ A(x)<0 et minimum=-55 (approximativement)
m=4:sur ]-8;8[ A(x)<0 et minimum=-130 (approximativement)

m=10:sur ]-16;16[ A(x)<0 et minimum=-2000 (approximativement)

Je remarque que: plus m augmente plus l'intervalle ou' A(x)<0 s'élargit et le minimum diminue en négatif.
Le graphique de A(x) ressemble à une parabole convexe.
A(x) décroissante sur ]-oo;0] et croissante sur [0;+oo[
Après qu'est ce que je peux dire de tout ça ?

[kadtex]

Ne pas tenir compte du message ci dessus, j'ai fait une erreur de signe.

[kadtex]

Je reprends:
Pour m>=2 A(x)>=0 sur ]-1;1[ et A(x) <0 sur le reste.
A(x) paire donc étude sur [0;+oo[
Il semble que:
x=1 est asymptote verticale ( c'est curieux car A(x) est définie sur IR)
A(x) croissante sur [0,z[, décroissante sur [z;1[. 0<z<1
Le maximum sur ]0,1[ augmente lorsque m augmente et un minimum toujours nulle en 0

Voilà ce que je peux dire. Le problème d'avoir z en fonction de m!

[rebouxo]

Il n'y a rien à faire pour $x$ négatif, ton énoncé dis que $x$ est positif.
Factorise par $x^2$.

Oliiver

[kadtex]

Bonjour rebouxo

Bon, j'ai raconté n'importe quoi dans mon précédent message, j'ai mélangé le signe de A(x) avec ses variations alors que j'ai besoin juste du signe de A(x).

Sur Géogebra j'ai remarqué que A(x)>=0 sur [0;z] et A(x)<0 sur ]z;1], avec A(z)=0

Je factorise A(x) par x²:
A(x)=x²[(m-2)-m^2*(2m-1)*x^(2m-2]
A(x)=0 équivaut à x^(2m-2)=(m-2)/(m^2*(2m-1))
x=[(m-2)/(m^2*(2m-1)]^(1/(2m-2))
Est ce que c'est correct?

c'est à dire z=[(m-2)/(m^2*(2m-1)]^(1/(2m-2))
La calculette me donne des valeurs approchées de z de de 0 à 0,9999 pour m variant de 2 à 100000