Inégalité en $H^1$

[mokata]

Bonjour tout le monde,

J'ai cet difféomorphisme entre le cube et la boule unité: $$\Phi : Q=B(0,1),\left \| . \right \|_\infty\rightarrow B=B(0,1),\left \| . \right \|_2, \;\;(x_1,x_2) \mapsto (x_1,x_2\sqrt{1-x_1^2} )$$.

J'aimerais bien montrer que: $\left \| \nabla \widetilde{P}\right \|_{H^{-1}(Q)}\leq \left \| \nabla {P}\right \|_{H^{-1}(B)}$, avec : $ \widetilde{P}=P\circ\Phi$, et $P\in \mathcal D(Q)$.

J'ai fait ça: soit $\widetilde{\eta} \in \mathcal D (Q)$,

$\left \langle \frac{\partial \widetilde{P}}{\partial y_i}, \widetilde{\eta} \right \rangle =\int_{Q}\frac{\partial \widetilde{P}}{\partial y_i} \widetilde{\eta} dy\\ \;\;\;\;\;=
\sum_{j}\int_{B}\frac{\partial P}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial y_i} \eta \left | J\Phi^{-1} \right | dx \\
\;\;\;\;\;
\leq \sum_{j}\left \| \frac{\partial P}{\partial x_j}\right \|_{H^{-1}(B)}.\left \| \frac{\partial x_j}{\partial y_i} \eta \left | J\Phi^{-1} \right | \right \|_{H^{1(B)}.
$

Ce que je veux maintenant c'est de controler : $\left \| \frac{\partial x_j}{\partial y_i} \eta \left | J\Phi^{-1} \right | \right \|_{H^{1}(B)}$ par $\left \| \widetilde{\eta} \right \|_{H^1(Q)}$.

Avez vous une idée s'il vous plait!

Je vous remercie infiniment pour votre temps.

Cordialement.

[bibi6]

Bonjour,

J'ai plusieurs soucis avec ton énoncé. Le principal problème que je soumets est que $\Phi$ telle que tu l'as écrite, n'est pas bien définie. J'imagine sans trop de mal que $Q \subset \mathbf R^2$ et que $B \subset \mathbf R^3$. Mais, alors que $(1, 1) \in Q$, son image n'est pas dans $B$... puisque $\Phi((1,1)) = (1,1,0)$, dont la norme 2 est $\sqrt 2$...

Mais il me semble que le tout doit fonctionner, si c'est bien posé. Peut-être faut-il expliciter le Jacobien de $\Phi^{-1}$ et les "changements de variables".

Cordialement.

PS: je t'invite à changer ton niveau pour "Supérieur". Clairement, ce n'est pas du niveau des collégiens, les espaces de Sobolev

[mokata]

Le problème est bien posé de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ .

[OG]

Bonsoir

Il me semble qu'il faut contrôler la fameuse quantité non pas par $\|\eta\|_{H^1(B)}$ mais par $\|\widetilde{\eta}\|_{H^1(Q)}$.
Quelques remarques/questions
1) origine du problème
2) il faudrait bien spécifier les normes sur les tous espaces
3) $\|\nabla\widetilde{P}\|\leq C \|\nabla{P}\|$ ne serait pas suffisant ?

O.G.

[bibi6]

J'imagine sans trop de mal que $Q \subset \mathbf R^2$ et que $B \subset \mathbf R^3$.

Le problème est bien posé de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ .

Effectivement, au temps pour moi. J'avais mal interprété la seconde coordonnée de l'image.

En quelque sorte, tu "plaques" deux côtés parallèles du carré unité sur la boule, et tu "écrases" les deux autres côtés sur deux points opposés. (Et les intérieurs "suivent" le mouvement.) J'imagine intuitivement que le gros du problème est justement cet écrasement, qu'il faut pouvoir contrôler.

Par ailleurs, je plussoie OG sur les remarques qu'il formule

[mokata]

Bonjour,

Il me semble qu'il faut contrôler la fameuse quantité non pas par $\|\eta\|_{H^1(B)}$ mais par $\|\widetilde{\eta}\|_{H^1(Q)}$
O.G.

Vous avez raison, c'était une érreur de ma part.Je vais la modifier;Merci.

1) origine du problème
O.G.

1)Je vais montrer l'inégalté de Necas sur une boule, sachant que je l'ai montré pour un cube..En explicitant la méthodes, je me suis tombé sur cette inégalité.

2) il faudrait bien spécifier les normes sur les tous espaces
O.G.

2)sauf erreur les normes sont les normes classiques.. $\|.\_2$, $\|.\_{H^{-1}}$..

3) $\|\nabla\widetilde{P}\|\leq C \|\nabla{P}\|$ ne serait pas suffisant ?
O.G.

3)C'est ce que je veux montrer par rapport aux normes $\|.\_{H^{-1}}$

Avez vous une idée?

[OG]

Bonjour

Comme les normes restent des normes à une constante multiplicative $>0$ près c'est bien 3) qui est suffisant.

ok je comprends mieux et aussi le lien avec l'autre question.
Je ne te renvoie pas sur le texte de Jérôme Droniou, je viens de lire aussi ta question sur les mathematiques net.
Visiblement la preuve se fait à coups de cartes locales.
Il semblerait aussi que l'on ait besoin de transport presque $C^2$ ($C^2$ à l'intérieur et qui explose gentiment sur le bord).
Si je comprends bien, tu veux éviter les cartes locales et avoir un seul transport.
Comme le jacobien ne se comportera pas très bien sur le bord, il faudrait bien lire le texte de J. Droniou (les faits 4 et 5).

Je n'ai pas le temps ni de lire les détails ni de chercher. Regarder la dimension 2 d'abord et peut-être que le difféomorphisme convient.

O.G.

[mokata]

Bonjour O.G.,
Merci pour le temps que vous avez consacré pour ce sujet.En réalité, je vais montrer l'inégalité de Nicas autrement, c'est pour ça j'ai essayé de trouver une autre méthode à part celles déjà suivi par les autres. Mais pour le moment je me suis bloqué dans ce genre d'inégalités.