A propos des compacts ...

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Kazik

Message non lu par Kazik »

OK!
La question suivante $X+Y=\{x+y\in\R^n, x\in X,y\in Y\}$.
Il faut montrer que cette partie est compact dans $\R^n$ en utilisant la suite $z_n=x_n+y_n$ ($z_n\in X+Y$) et des suites extraites.

J'arrive pas a montrer que c'est fermé!
dgvincent
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Message non lu par dgvincent »

J'imagine que $X$ et $Y$ sont des compacts... ;-)
C'est un exo hyper-classique. Utilise l'hypothèse de compacité de $X$ et $Y$ (donc ce sont des fermés bornés) et la suite viendra toute seule !
Kazik

Message non lu par Kazik »

je ne comprend pas l'indication avec les suites extraites
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Autre méthode pour l'aspect "fermé" de $E$ :
l'application $f:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto x$ est continue sur $\R^2$ et $E$ est l'image réciproque du fermé $\{2004\}$ de $\R$ par $f$ donc est fermé dans $\R^2$ (pour les normes ou distances que l'on veut).
Kazik

Message non lu par Kazik »

$E=f^{-1}(\{2004\})$ ?
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :$E=f^{-1}(\{2004\})$ ?
Oui, c'est ce que j'ai écrit.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Et il faut que $f$ soit continue ?
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :Et il faut que $f$ soit continue ?
Oui, c'est ce que j'ai dit aussi. Mais $f$ est une fonction polynôme en les deux variables $x$ et $y$ donc la continuité sur $\R^2$ est assurée.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Merci.
Pour la suite, tu peux regarder stp ?

On sait que $X$ et $Y$ sont des parties compactes de $\R^n$ et on doit montrer que $X+Y$ définie précédemment est aussi une partie compacte en utilisante une suite $(z_n)$ et des suites extraites.

Je vois pas l'utilité des suites extraites en fait.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Pour les compacts, cela fait 15 ans que je ne pratique plus donc je n'ai plus en mémoire toutes les techniques associées.
Pour l'aspect borné, je dirai que c'est une histoire d'inégalité triangulaire.
Pour l'aspect fermé, c'est là que tu as besoin d'une suite : tu peux extraire de $(x_n)$ une suite $(x_{\varphi(n)})$ qui converge dans $X$ puis de $(y_{\varphi(n)})$ une sous-suite convergent dans $Y$.
kilébo
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Message non lu par kilébo »

dgvincent a écrit :$E$ borné signifie que pour tout $x\in E$, il existe un réel positif $M$ tel que $||x||<=M$.
Attention à l'erreur de logique de cette phrase. Car ta définition ferait de tout ensemble $E$, un ensemble borné... (en prenant $M = ||x||$ par ex.).

PS : dgvincent, je ne doute pas que c'est une erreur d'étourderie de ta part : ce message s'adresse donc davantage aux lecteurs qu'à toi même.
Dernière modification par kilébo le dimanche 12 novembre 2006, 13:32, modifié 1 fois.
dgvincent
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Message non lu par dgvincent »

Oups ! :oops: Bien-sûr, j'ai interverti le " quelque soit" et le "il existe" !
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