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La question suivante $X+Y=\{x+y\in\R^n, x\in X,y\in Y\}$.
Il faut montrer que cette partie est compact dans $\R^n$ en utilisant la suite $z_n=x_n+y_n$ ($z_n\in X+Y$) et des suites extraites.
J'imagine que $X$ et $Y$ sont des compacts... ;-)
C'est un exo hyper-classique. Utilise l'hypothèse de compacité de $X$ et $Y$ (donc ce sont des fermés bornés) et la suite viendra toute seule !
Autre méthode pour l'aspect "fermé" de $E$ :
l'application $f:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto x$ est continue sur $\R^2$ et $E$ est l'image réciproque du fermé $\{2004\}$ de $\R$ par $f$ donc est fermé dans $\R^2$ (pour les normes ou distances que l'on veut).
On sait que $X$ et $Y$ sont des parties compactes de $\R^n$ et on doit montrer que $X+Y$ définie précédemment est aussi une partie compacte en utilisante une suite $(z_n)$ et des suites extraites.
Je vois pas l'utilité des suites extraites en fait.
Pour les compacts, cela fait 15 ans que je ne pratique plus donc je n'ai plus en mémoire toutes les techniques associées.
Pour l'aspect borné, je dirai que c'est une histoire d'inégalité triangulaire.
Pour l'aspect fermé, c'est là que tu as besoin d'une suite : tu peux extraire de $(x_n)$ une suite $(x_{\varphi(n)})$ qui converge dans $X$ puis de $(y_{\varphi(n)})$ une sous-suite convergent dans $Y$.