Etude d'une fonction

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire mais je bloque, ce qui fais que je ne vois pas trop comment aborder mon exercice

On considère la fonction fK définie pour tout x différent de -k par f(x) = x+1 + k/(x+k). K désigne un nombre réel fixé. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk repère orthonormé.

1. Quelle est la nature de C0 ?

Je pense que c'est une courbe mais je ne vois pas trop comment l'expliquer

Dans toute la suite on prendra k différent de 0

2. Montrer que pour tout x différent de -k, f'k(x) = (x+k)2 - k / (x+k)2

Je sais que la formule est u'v - v'u/ v2 mais comme il y a x-1 cela me perturbe du coup je ne sais pas si c'est la bonne formule à faire ici

3. Montrer que l'origine appartient à toutes les courbes Ck

4. Quelle est l'équation de la tangente à Ck à l'origine ?

5. On suppose que k > 0

a. Montrer que fk a deux extremums : ak = -k - racine de k et bk = -k + racine de k

b. Vérifier les égalités fk(ak) = -(racine de k +1)2 et fk(bk) = -(racine de k - 1)2

c. Étudier les variation de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

d. On note Ak et Bk les points de Ck d'abscisses respectives ak et bk. Montrer que (AkBk) a pour équation y = 2x-1+k

e? En déduire que les droites (AkBk) sont toutes parallèles

6. On suppose que k<0

a. Étudier les variations de fk. Tracer le tableau de variation de fk et donner les limites de fk en + l'infini et - l'infini

b. Montrer que Bk admet 2 points Ek et Fk où la tangente admet un coefficient directeur égal à 2

c. Prouver que toutes les droites (EkFk) sont parallèles à l'axe des abscisses

7. A l'aide d'un logiciel de géométrie, tracer les courbes C1, C-1 et C3

Merci d'avance pour vos explications car je ne comprend vraiment pas cet exercice !

[chacha778]

Petite erreur dans la fonction f(x), c'est x-1 +k/(x+k)

[kojak]

Bonjour,

Il faudrait mettre un peu en forme ta fonction $f_k$. Soit c'est $f_k(x)=x-1+\dfrac{k}{x+k}$ ou $f_k(x)=\dfrac{x-1+k}{x+k}$.

Je pencherais pour la première version, non ?

Si oui, pour la première question, que vaut $f_0(x)$ ? comment l'obtiens-tu ?

[rebouxo]

Je dirais même plus quelle type de courbe cela te donne-t-il ?
Tracer les courbes en fonction de $k$ dans GeoGebra serait une bonne idée.

Olivier

[chacha778]

Bonjour, en effet c'est la première proposition, ainsi je trouve en faisait $f_0(x)= x-1$ donc une droite

[kojak]

Bonjour,

OK pour la 1. Ben la suite alors.Comment dérives tu $f_k$ ?

PS : un effort de mise en forme $\LaTeX $ serait bien. Pour voir comment c'est écrit, il suffit de passer la souris sur la formule

[chacha778]

Bonjour, la dérivé j'ai d'abord mis tout sur le même dénominateur ce qui me fait f(x)= x^2+kx-x/(x+k) donc f'(x)= x^2+kx+k^2-k/(x+k)^2 ?
PS: J'ai beau essayer de mettre la formule bien comme il faut pour que tout soit bien jolie mais j'ai un peu de mal..Désoler

[chacha778]

Bonjour, la dérivé j'ai d'abord mis tout sur le même dénominateur ce qui me fait f(x)=$f_k(x)=\dfrac{ x^2+kx-x}{x+k}$ donc f'(x)= $f_k(x)= \dfrac{x^2+2kx+k^2-k}{(x+k)^2}$ ?
PS: J'ai fais du mieux que j'ai pu

[rebouxo]

Perso, je ne mettrais pas au même dénominateur. Je dériverais chacun des deux termes puis je mettrais au même dénominateur.
Surtout ne pas trop développer. Car sur la forme que tu donnes, ce n'est pas très facile à étudier.

Attention, dans tes formules, c'est bien $f'_k(x)$ et pas $f_k(x)$.
Olivier

[chacha778]

Oui merci j'ai fais la modification justement avant d'oublier, merci
Donc il faut que je développe chacun d'un côté ?

[kojak]

Bonjour,

Donc il faut que je développe chacun d'un côté ?

Non, il est dit :

Perso, je ne mettrais pas au même dénominateur. Je dériverais chacun des deux termes puis je mettrais au même dénominateur

c'est-à-dire que tu dérives directement $f_k(x)=x-1+\dfrac{k}{x+k}$ et seulement à la fin, tu réduis au même dénominateur : le résultat sera quasi immédiat

[chacha778]

$f'_k(x)=\dfrac{-k}{u²}$ soit $f'_k(x)=\dfrac{ -k}{(x+k)²}$ ainsi je rajoute la dérivé de x-1 soit 1 et je réduis au même dénominateur ?

[kojak]

Oui, sauf que $\dfrac{-k}{(x+k)^2}$ n'est pas la dérivée de $f_k$ mais seulement de $\dfrac{1}{x+k}$, ce qui est correct.

Donc ce ne serait pas la forme demandée par hasard ? $f'_k(x)=\dfrac{(x+k)^2-k}{(x+k)^2}$ après mise en forme dans ton premier message

[chacha778]

Si en effet en mettant sur le même dénominateur on a bien ce qui est demandé, j'ai réussi à faire tout le reste ce qui fait que j'en suis maintenant à la 5a mais je ne vois pas du tout comment faire, j'ai simplement réussi à écrire que (x+K)^2= k à partir de la je ne vois pas trop trop..

[kojak]

j'ai simplement réussi à écrire que $(x+k)^2= k$

OK et donc, comme $k>0$ il est dit, continue.

Si tu as cette équation $X^2=3$, quelles sont les solutions ?

[chacha778]

J'ai donc par la suite fais x+k=-√k et x+k=√k et j'ai alors passé les k de l'autre côté ?
Hum racine et 3 et - racine de 3 ?

[rebouxo]

[Couic] x+k=-√k et x+k=√k et j'ai alors passé les k de l'autre côté ?

Je ne comprends pas que l'on puisse comprendre cette phrase. Mais bon, je suis têtu parfois.
Olivier

[kojak]

Oui correct, avec la même remarque que rebouxo.

La suite alors

[rebouxo]

Oui correct, avec la même remarque que rebouxo.

La suite alors

Ben m****e alors on est au moins 2
Olivier

[bibi6]

Oui correct, avec la même remarque que rebouxo.

La suite alors

Ben m****e alors on est au moins 2
Olivier

... au moins 3!

Bon je