Autour de racine de 2

[kadtex]

Bonjour

Dans la question 1,j'ai démontré que pour tout réel a, a>0
Si a<V2 alors V2<2/a (V2=racine de 2)
Si a>V2 alors V2>2/a
Ainsi V2 comprise toujours entre a et 2/a

Question suivante:
Montrer que pour tout réel a, a>0
V2<1/2(a+2/a)

réponse:
D'après la question 1:
a<V2<2/a si a<V2
2/a<V2<a si a>V2
j'ajoute membre à membre:
a+2/a<V2<2/a+a

C'est curieux que V2 est encadrée par le même nombre a+2/a !
Je pense que je faute quelqepart !

Merci d'avance pour votre aide.

[kojak]

Bonjour,

Un effort de mise en forme latex est nécessaire SVP.

V2=racine de 2

En $\LaTeX$ il suffit d'écrire $\sqrt 2$

Code : Tout sélectionner

$\sqrt 2 

j'ajoute membre à membre

Pourquoi pas, mais en as-tu le droit ? Chacune des inégalités est valable pour quelle valeur de $a$ ? les mêmes ? j'ai un gros doute.

C'est curieux que V2 est encadrée par le même nombre a+2/a !

C'est déjà bien, tu te rends compte que ça coince, c’est plutôt bon signe

Et sinon, une petite étude de fonction, ça ne te dirait pas pour faire ceci ?

PS : tu es à quel niveau ? toujours Term S ou autre ?

[kadtex]

bonjour kojak

tu es à quel niveau ? toujours Term S ou autre ?

toujours au même niveau TS!
Je ne suis pas scolarisé, j'ai dépassé l'âge de rendre des devoirs au professeur.
Je fais ça pour mon plaisir!

Effectivement les réels a n'ont pas la même valeur, par exemple a<b j'obtiens ceci:
Si a<$\sqrt 2 alors <$\sqrt 2 <2/a
Si b>V2 alors $\sqrt 2 >2/b
(ab+2)/(2a)<$\sqrt 2 <2/(ab+2)/(2b)

Est ce que cela mène à quelque chose ?

Code : Tout sélectionner

Et sinon, une petite étude de fonction, ça ne te dirait pas pour faire ceci ? 

Je ne vois pas bien quelle fonction ?

[kadtex]

Ne pas tenir compte de mon message ci dessus pour les égalités, je le reprends.
$a<b$
$a<\sqrt 2 <2/a$ si $a<\sqrt 2$
$2/b<\sqrt 2 <b$ si $b>\sqrt 2$
j'ajoute membre à membre:
$(ab+2)/(2a)<\sqrt 2 <(ab+2)/(2b)$

[kadtex]

Je ne comprends rien, pourtant racine 2 c'est bien comme ça: $\sqrt 2 comme tu l'avais écrit ?

[kojak]

Bonjour,

toujours au même niveau TS!
Je ne suis pas scolarisé, j'ai dépassé l'âge de rendre des devoirs au professeur.
Je fais ça pour mon plaisir!

C'est bien ça. Ça entretient les neurones

Est ce que cela mène à quelque chose ?

Non malheureusement

Je ne vois pas bien quelle fonction ?

Tu poses pour $a>0, \ f(a)=\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)$ et tu étudies les variations.

[kadtex]

$a>0, \ f(a)=\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)$

f'(a)=-1/x²+x/2
sur ]0;$\sqrt 2 $] f'(a)<=0 donc f décroissante
sur ] $\sqrt 2 $ ; +oo[ f'(a)>0 donc f croissante

lim f(a)=+oo en 0
lim f(a)=+oo en +oo
f($\sqrt 2 $)=$\sqrt 2 $

Je pense que c'est la même chose que pour l'étude des suite récurrentes
la droite y=a et la courbe se coupent en ($\sqrt 2 $; $\sqrt 2 $ )

Graphiquement , pour a<$\sqrt 2 $ ou a>$\sqrt 2 $, f(a) tend vers $\sqrt 2 $
Mais qu’elle est la conclusion de cette étude de f ? Est-ce que ça répond à la question posée ?

[kojak]

Ce que tu as fait est correct.

Quel est donc le minimum $m$ de la fonction pour $a>0$ ? Donc tu viens de démontrer que pour tout $a>0, f(a)\geq m$ où $m=\ldots$

Ce ne serait pas ce que tu cherchais à démonter ?

[kadtex]

Ce ne serait pas ce que tu cherchais à démonter ?

Bien sûr !

Je n'ai pas fait attention que f admet un minimum $\sqrt 2 $ pour a=$\sqrt 2 $ et conclure !

J'ai trouvé cet exercice sur un livre de seconde 1990.
Or en seconde on étudie pas ce genre de fonction car on étudie pas les dérivées.

Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?

[kojak]

Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?

Oui tu étudies le signe de la différence $\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)-\sqrt2=\dfrac{1}{2a}(a^2-2a\sqrt 2 +2)=\dfrac{1}{2a}(a-\sqrt 2)^2$ et c'est fini

[bibi6]

Je me demande s'il existe une démonstration de niveau seconde ?

Oui tu étudies le signe de la différence $\dfrac12\left(a+\dfrac2a\right)-\sqrt2=\dfrac{1}{2a}(a^2-2a\sqrt 2 +2)=\dfrac{1}{2a}(a-\sqrt 2)^2$ et c'est fini

Ah, effectivement - je ne voyais que l'argument analytique aussi, mais vu la formulation de la question, j'essayais sans succès un moyen plus algébrique d'obtenir le résultat. C'est pourquoi je ne suis pas intervenu plus tôt.

En passant, il y a une erreur sur la dérivée, sans conséquence ici. On a $f'(a) = \frac 1 2 \left ( 1 - \frac 2 {a^2}\right)$ (et non $f'(a) = \frac 1 2 \left ( a - \frac 2 {a^2}\right)$). Mais c'est plus une coquille de recopie sur le forum qu'une erreur de calcul.