Développements limités (prépa agreg)

[othiprof]

Bonjour,
ma question est la suivante :
dans un développement limité à l'ordre 3 en $+\infty$ peut-on remplacer $o( \dfrac {ln^3(x)}{x^3})$ par $o(\dfrac{1}{x^3})$ ? (si oui, pourquoi ??)
Il s'agit du développement limité de $e^\dfrac{ln(x)}{x}$ à l'ordre 3 en $+\infty$ pour, au final, un DL de $(1+x)^\dfrac{1}{x}$.
Et je ne bloque que sur le $o(\dfrac{ln^3(x)}{x^3})$...

Par avance merci... !

[kojak]

Bonjour,

dans un développement limité à l'ordre 3 en $+\infty$ peut-on remplacer $o( \dfrac {ln^3(x)}{x^3})$ par $o(\dfrac{1}{x^3})$ ? (si oui, pourquoi ??)

Ben non la limite du quotient en l'infini est égale à $+\infty$
à moins que je ne dises une ânerie..

Il s'agit du développement limité de $e^\dfrac{ln(x)}{x}$ à l'ordre 3 en $+\infty$ pour, au final, un DL de $(1+x)^\dfrac{1}{x}$.

Xcas me donne

$1+\frac{\ln\left(x\right)}{x}+(\frac{1}{2} \cdot \ln\left(x\right)^{2}+1) \left(x^{-1}\right)^{2}+(\frac{1}{6} \cdot \ln\left(x\right)^{3}+\ln\left(x\right)+\frac{-1}{2}) \left(x^{-1}\right)^{3}+(\frac{1}{24} \cdot \ln\left(x\right)^{4}+\frac{1}{2} \cdot \ln\left(x\right)^{2}-\frac{1}{2} \cdot \ln\left(x\right)+\frac{5}{6}) \left(x^{-1}\right)^{4}+(\frac{1}{120} \cdot \ln\left(x\right)^{5}+\frac{1}{6} \cdot \ln\left(x\right)^{3}-\frac{1}{4} \cdot \ln\left(x\right)^{2}+\frac{5}{6} \cdot \ln\left(x\right)+\frac{-3}{4}) \left(x^{-1}\right)^{5}+\left(x^{-1}\right)^{6} \mathrm{order\_size}\left(x^{-1}\right)$

[guiguiche]

J'aurais bien dit qu'il faut aller à l'ordre 4 en $\dfrac{\ln(x)}{x}$ pour obtenir de l'ordre 3 en $\dfrac{1}{x}$.

[othiprof]

Effectivement, en développant $e^\frac{ln x}{x}$ à l'ordre 4, on obtient :

$e^{\frac{ln x}{x}}=1+\dfrac{ln x}{x}+\dfrac{ln^{2} x}{2x^2}+\dfrac{ln^{3}x}{6x^3}+\dfrac{ln^{4}x}{24x^4}+o(\dfrac{ln^{4}x}{x^4})$

Or : $\dfrac{ln^{4}x}{x^4}=\dfrac{ln^{4}x}{x}.\dfrac{1}{x^3}$ avec $\dfrac{ln^{4}x}{x} \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow +\infty$

d'où : $\dfrac{ln^{4}x}{24x^4}+o(\dfrac{ln^{4}x}{x^4})=o(\dfrac{1}{x^3})$

ce qui me convient parfaitement. Merci et bravo Guiguiche.

[guiguiche]

De rien.

[balf]

En fait, tout ce qu'on peut obtenir est un développement asymptotique, pas un développement limité au sens strict.

B. A.

[othiprof]

Mais bien sûr! Merci Balf.

[kojak]

Bonjour,

Pour remarque, le développement asymptotique de $x^{\frac{1}{x}}$ que tu obtiens n'est pas à mon avis le développement asymptotique de $(1+x)^\frac{1}{x}$ au voisinage de $+\infty$ comme tu l'avais précisé initialement.

[othiprof]

Effectivement, il reste à faire le produit par le DL de $e^{\frac{1}{x}ln(1+\frac{1}{x})}$.

[kojak]

Bonjour,

Bof, faire des produits de DL n'est pas la meilleure des solutions à mon sens. Qd on peut l’éviter, c’est mieux je trouve, du moins, c'est ce que je préconise fortement avec mes étudiants.

Pour celui de $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ je ferais d'abord celui de $\dfrac{\ln(1+\frac{1}{x})}{x}+\dfrac{\ln x}{x}$ en posant $h=\dfrac{1}{x}$ pour être en 0, soit celui en 0 de $h\ln(1+h)-h\ln h$ et ensuite, composer par celui de l’exponentielle.

[othiprof]

Oui mais comment développer ln h en 0 ?

[kojak]

Tu le laisses tel quel, sans oublier le $h$ devant et $h\ln h$ tend bien vers $0$ en $0$.

C'est pour ça que tu ne vas pas obtenir un DL mais un développement asymptotique à la précision de $\dfrac{1}{x^3}$ si je t'ai bien compris.

Ca revient un peu à ce que tu as fait ici :

$e^{\frac{ln x}{x}}=1+\dfrac{ln x}{x}+\dfrac{ln^{2} x}{2x^2}+\dfrac{ln^{3}x}{6x^3}+\dfrac{ln^{4}x}{24x^4}+o(\dfrac{ln^{4}x}{x^4})$