Majoration d'un reste

[othiprof]

Bonsoir,
je suis à la recherche d'une bonne âme pour m'aider :
je cherche à déterminer une majoration du reste de la série de terme général $\dfrac{1}{n!}$ et plus particulièrement à prouver que $\sum\limits_{k\ge n+1}\dfrac{1}{k!}\le \dfrac{1}{n.n!}$
Mais je n'y parviens pas... je bloque totalement. Help!??

[guiguiche]

Ça ressemble à l'inégalité de Taylor-Lagrange avec la fonction exponentielle.

[othiprof]

Celle-ci ? $\left \|f(b)-f(a)-\sum \limits_{p=1}^k \dfrac{(b-a)^p}{p!} f^{(p)}(a) \right\| \le M \dfrac{|b-a|^{k+1}}{(k+1)!}$

Auquel cas, avec $a = 0$, $b = 1$, $k = n$ j'obtiendrais :

$|e-S_n| \le M \dfrac{1}{(n+1)!}$ soit $R_n \le M \dfrac{1}{(n+1)!}$

mais que prendre comme $M$ sachant que $M$ est un majorant des dérivées ... ?

Par ailleurs, n'y aurait-il pas une méthode qui ne ferait pas appel à la fonction exponentielle, ce qui permettrait de prouver que la série des $\dfrac{1}{n!}$ converge vers $e$ ?

[OG]

Bonjour

Pour la convergence, il y a l'exercice (classique) (dont je ne me rappelle plus) pour montrer que $e$ est irrationnel et qui passe par les suites adjacentes (grosso modo la somme partielle et la somme partielle +$1/(n\cdot n!)$).

L'étude des deux suites doit d'ailleurs donner des idées pour la majoration.

Pour la majoration on peut écrire

$$ \sum_{k\geq n+1} \frac{1}{k!}= \frac{1}{n!}( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots )$$

Pour majorer

$$\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots$$

on factorise par $1/(n+1)$, on majore chaque terme ($k\geq 3$) $1/((n+2)\cdot (n+k)$ par $1/((n+(k-1))(n+k)$ puis coup des suites télescopiques... il doit rester un $2/(n+2)$...

O.G.

[guiguiche]

mais que prendre comme $M$ sachant que $M$ est un majorant des dérivées ... ?

Ici, $M=e$ puisque les dérivées successives de exp sont toujours égales à exp elle-même, la plus grande valeur absolue sur [0,1] est donc obtenue en 1. Après, il reste à trouver un rang à partir duquel $\dfrac{e}{n+1}<\dfrac{1}{n}$.

[balf]

Je reprends la méthode directe de OG, en la simplifiant – la somme de la série géométrique suffit:
$R_n=\dfrac1{(n+1)!}+\dfrac1{(n+2)!}+\dots+\dfrac1{(n+k)!}+\dotsm$
$\dfrac1{n!}\biggl(\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{(n+1)(n+2)}+\dots+\dfrac1{(n+1)(n+2)\dotsm(n+k)}+\dotsm \biggr) $
$\leqslant\dfrac1{n!}\biggl(\dfrac 1{n+1}+\dfrac1{(n+1)^2}+\dots+\dfrac1{(n+1)^k}+\dotsm \biggr) =\dfrac1{n!}\dfrac{\dfrac 1{n+1}}{1-\dfrac{1\strut}{(n+1)}}=\dfrac1{n!}\dfrac1{(n+1)-1}=\dfrac1{n\,n!}.$

B.a.

[guiguiche]

Effectivement, c'est pas mal.

[othiprof]

Mais oui, c'est génial! Vraiment, merci à tous.