Inégalité polynomiale

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MB
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Inégalité polynomiale

Message par MB »

Voici le petit exercice suivant.
Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé de degré $n \geq 1$.
1) Montrer que $(n-1)(P')^2 \geq nPP''$.
2) Étudier les cas d'égalité.
Je pense avoir une solution basée sur l'expression de $\frac{P'}{P}$ et de sa dérivée $\frac{PP''-(P')^2}{P^2}$, puis via Cauchy-Schwartz.
Peut-être qu'il y a mieux.
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OG
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Re: Inégalité polynomiale

Message par OG »

Hello

J'ai regardé et ce que j'ai trouvé doit revenir au même (Cauchy-Schwarz inside), en partant
de
$$
P'= P \times \sum \frac{1}{X-a_k}
$$
dérivant, etc.

O.G.

MB
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Re: Inégalité polynomiale

Message par MB »

Merci. Je suppose donc que c'est la méthode la plus naturelle.
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OG
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Re: Inégalité polynomiale

Message par OG »

J'avoue que je ne sais pas si c'est la méthode la plus naturelle. Je ne connaissais pas cet exo (qui doit être classique) et le côté "scindé" pousse à utiliser $P'/P$.

O.G.

MB
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Re: Inégalité polynomiale

Message par MB »

Je ne sais pas si il est classique, je ne l'ai même pas trouvé dans les bouquins dont je dispose. D'ailleurs si quelqu'un a une référence dans laquelle il figure ...
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guiguiche
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Re: Inégalité polynomiale

Message par guiguiche »

En lien avec les polynômes de Hermite comme dans ce sujet : ESSEC 2002 S.
Vous ne pouvez pas consulter les pièces jointes insérées à ce message.
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