Pourriez-vous svp me dire si ma démonstration est correcte ?
J'ai un doute quand à l'utilisation correcte de l'inf ...
Merci
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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\begin{document}
\textbf{Preuve}
Soit $x \in E$ et $F=\left\{d(x,a), a \in A \right\}$.
$d(x,A)=\inf F$ est bien défini comme borne inférieure d'un ensemble de réels minorés par 0.
\medskip
\colorbox{red!10}{$e \in F$ se traduit par : \; $\exists a \in A \;,\; e=d(x,a)$.}
\medskip
$\begin{array}{ccl}
d(x,A)={\color{red}0} & \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists e \in F \;,\; e-{\color{red}0} < \varepsilon \quad \text{ (caractérisation de la borne inf.)}\\[0.1ex]
& \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists a \in A \;,\; d(x,a) < \varepsilon \quad \text{ (d'après la remarque surlignée)}\\[0.1ex]
& \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; \exists a \in A \; \text{ et } \; a \in B(x,\varepsilon)\\[0.1ex]
& \Longleftrightarrow & \forall \varepsilon >0 \;,\; B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset \\[0.1ex]
& \Longleftrightarrow & x \in \overline{A}\\[0.1ex]
\end{array}$
\end{document}
