Pourquoi log(x) n'existe pas si x<0 ?

[evariste_G]

Bonjour.

Il y a peu de temps, je me suis mis en tête d'introduire les logarithmes à partir de l'histoire, à savoir comme étant les fonctions $f$ telles que $f(xy)=f(x)+f(y)$. Mais je n'arrive pas à voir pourquoi les opérandes de cette fonction doivent être positives (pour le champs réel).

J'ai déjà démontré qu'elles ne pouvaient pas être nulles sinon $f$ serait la fonction identité, mais pour le reste... je butte (comme à Montmartre).
Cela doit être tout bête mais je ne vois pas... Une idée ?

[OG]

Je connais pas l'histoire du log et des fonctions. Tout doit dépendre de la définition, fonction réciproque de l'exponentielle, $f(xy)=f(x)+f(y)$, régularité, complexe/pas complexe.

Avec $f(xy)=f(x)+f(y)$, pourquoi $f(x)=\ln(|x|)$ ne convient-il pas ?

O.G.

[rebouxo]

Puisque l'on part sur l'histoire du log. Napier ne s'est pas posé la question des logarithmes des nombres négatifs. À son époque les nombres négatifs ne sont pas des nombres (au mieux des astuces de calculs pratiques). De la même manière, la fonction log n'existe pas (il faudra attendre Newton et Leibniz pour la notion de fonction). Très clairement l'invention des logarithmes fait partis des précurseurs de la notion de fonctions. D'ailleurs le nom logarithme montre bien que Napier ne travaille que sur des nombres.

Napier fait une correspondance entre la suite 1, 2, 3, 4, ... et la suite $10^0$, $10^1$, $10^2$, $10^3$, $10^4$, ...
Les nombres dont on cherche le log sont dans la 2e suite, et les log dans la première.

Il cherche ensuite le nombre dont le log est $0,5 = \frac{0+1}{2}$. Pour que cela s'inscrive dans la série précédente, ce nombre doit être
$\sqrt{10^0 \times 10^1}$. On passe d'une moyenne arithmétique à une moyenne géométrique. Il ne reste plus qu'à calculer la racine (facile, mais bon à la main).

Il construit ainsi ses correspondances de proche en proche.

Sauf erreur de ma part. Plus de renseignement : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/LMBlogarithmes.pdf.

Ton questionnement n'est pas historique. Tu cherches plutôt les hypothèses minimum qui te permette de construire le log à partir de $\log(ab) = \log(a)+\log(b)$.

Dans mes vieux bouquins de TC (début des années 90), la constructions de Napier est présentée, et dans le transmath 1987, on trouve un problème comme le tiens.
Partie 1 : résolution sur R de l'équation $f(ab) = f(a) + f(b)$. On montre que $f(0) = 0$, puis que $f(x) = 0$ pour tout $x$.
Partie 2 : résolution sur $R_+^*$ mais sans explication de la restriction. Les deux hypothèses : $f(ab) = f(a)+f(b)$ et $f$ dérivable (le pb justifie ce choix !).

On doit alors rapidement démontrer que $f$ est bijective (heureusement). Si $f$ est bijective on ne peut pas avoir $f(-x) = f(x)$ ce qui explique la limitation, non ?

Question est-ce que l'on peut construire la fonction log uniquement avec $f(ab)=f(a)+f(b)$ et $f$ bijective ?

Olivier

[evariste_G]

Le post de Rebouxo me conforte dans ce que j'ai fait.

En effet, j'ai construit les fonctions log à partir de f(xy)=f(x)+f(y) en admettant dans un premier temps que x>0, puis en démontrant sa bijectivité afin de passer par sa réciproque pour ensuite justifier pourquoi on prend les opérandes positives.

Pour ceux qui souhaitent voir/critiquer (s'il y a des erreurs), j'ai mis sur ma chaîne Youtube le début du cours :

Pour la création des logarithmes : https://www.youtube.com/watch?v=a9QXO07l6Z0
Pour les variations : https://www.youtube.com/watch?v=beEa3h_pP90

Il y a sans doute des abus (par soucis de pédagogie) mais j'ai tenté de les rendre rares.

[evariste_G]

Je connais pas l'histoire du log et des fonctions. Tout doit dépendre de la définition, fonction réciproque de l'exponentielle, $f(xy)=f(x)+f(y)$, régularité, complexe/pas complexe.

Avec $f(xy)=f(x)+f(y)$, pourquoi $f(x)=\ln(|x|)$ ne convient-il pas ?

O.G.

Disons que je voulais amener naturellement les élèves à construire les log, dont le ln. Si je considère directement $\ln(|x|)$ je crains que ça ne fasse plus peur qu'autre chose. Mais rien n'empêche au final de parler de cette dernière en effet.

[OG]

Je connais pas l'histoire du log et des fonctions. Tout doit dépendre de la définition, fonction réciproque de l'exponentielle, $f(xy)=f(x)+f(y)$, régularité, complexe/pas complexe.

Avec $f(xy)=f(x)+f(y)$, pourquoi $f(x)=\ln(|x|)$ ne convient-il pas ?

O.G.

Disons que je voulais amener naturellement les élèves à construire les log, dont le ln. Si je considère directement $\ln(|x|)$ je crains que ça ne fasse plus peur qu'autre chose. Mais rien n'empêche au final de parler de cette dernière en effet.

Ma remarque signifie juste que la seule condition $f(xy)=f(x)+f(y)$ ne suffit pas à restreindre l'ensemble de définition à $]0,+\infty[$. Il faut des hypothèses supplémentaires ou par la suite restreindre l'ensemble de définition pour avoir la bijectivité.

O.G.

[OG]

Question est-ce que l'on peut construire la fonction log uniquement avec $f(ab)=f(a)+f(b)$ et $f$ bijective ?

Olivier

Il faut imposer une condition telle que continuité, monotonie, bornée dans un voisinage de quelqu'un ou encore $L^1_{loc}$ pour tomber sur le log.

On considère d'abord une application $g$ de $\R$ dans $\R$, additive mais pas de la forme $x\mapsto ax$, telle que $g(1)=1$
(une telle fonction existe en considérant $\R$ comme un $\Q$-espace vectoriel, dimension infinie, base de Hamel) on se débrouille pour que $g$ soit bijective.
Alors $f(x)=g(\ln(x))$, $x>0$, vérifie $f(ab)=g(\ln(ab))=g(\ln(a)+\ln(b))=g(\ln(a))+g(\ln(b))=f(a)+f(b)$ mais $f$ n'est pas le log.
Évidemment c'est un peu délicat pour le lycée et pas seulement...

O.G.

[rebouxo]

Il faut imposer une condition telle que continuité, monotonie, bornée dans un voisinage de quelqu'un ou encore $L^1_{loc}$ pour tomber sur le log.

Oui, tu as raison. J'ai tendance à considérer que toutes les fonctions du lycée sont continues, dérivables... Une vision très XVIIIe des fonctions. Je sais c'est pas bien, mais dans la pratique, les fonctions que l'on rencontre ont ses propriétés. Oui, pour la dérivabilité cela peut se discuter au lycée, mais la continuité...

Donc oui, on peut rajouter continue et bijective.

Olivier

[styren]

Pour une histoire de la notion de logarithme, je te conseille le chapitre 6 du bouquin d'Edwards, The historical development of the calculus (SPringer, 1979) https://www.amazon.fr/Historical-Develo ... e+Calculus