Calcul d'une somme

[othiprof]

Bonjour à tous,
je dois calculer la somme des $u_n$ avec $u_n=\frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}$.
J'ai besoin d'aide et je me tourne vers vous.
Merci.

[OG]

$u_n$ vaut souvent zéro et dans le cas contraire se calcule en fonction de $n$

[othiprof]

J'ai cru constater que pour $n+1$ carré parfait $u_n$ vaut $\frac{1}{n}$ et $0$ sinon.
Ce qui m'a ennuyée puisque la série des $\frac{1}{n}$ diverge.
En tout cas merci.

[OG]

J'ai cru constater que pour $n+1$ carré parfait $u_n$ vaut $\frac{1}{n}$ et $0$ sinon.
Ce qui m'a ennuyée puisque la série des $\frac{1}{n}$ diverge.
En tout cas merci.

C'est la piste mais il faut être plus vigilant pour les notations, en étudiant $u_n$
pour $k^2\leq n <(k+1)^2$, $n+1=k^2$. Normalement on ne tombe pas sur la série des $1/n$.

[othiprof]

En écrivant la somme partielle d'indice $N$:

$\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^{N} u_n=\sum_{n=1}^{N} \frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}=\sum_{n/n+1=k^2}^{N}\frac{1}{n}=\sum_{k=2}^{N'} \frac{1}{k^2-1}$

Serait-ce acceptable ? Et comment définir le $N'$ ?

Ensuite : $\displaystyle\sum_{k=2}^{N'} \frac{1}{k^2-1}=-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=2}^{N'} \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}+\sum_{k=2}^{N'} \frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N'+1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{N'}-1\right)$

Ce qui tend vers $\frac{3}{4}$ quand N (donc N' ...) tend vers $+ \infty$ et qui est, normalement, la somme recherchée (l'ayant vérifiée avec un programme).

Mouais. Je suis bien incapable de prouver que $ E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=0 $ quand $n+1$ n'est pas un carré parfait et $1$ sinon.

Quant au $N'$, serait-il égal au $sup\{k^2-1, k\in \mathbb{N}, k^2-1 \le N\}$ ?

[rebouxo]

As-tu vraiment besoin de la valeur de $N'$ ?
$N'$ tends vers l'infini quand $N$ tend vers l'infini, donc...

Intuitivement, je comprends bien que la différence est nulle quand $n+1$ n'est pas un carré, quand à l'expliquer...

Olivier

[othiprof]

on est d'accord... Merci!

[rebouxo]

J'espérais qu'OG ait la solution. Ben non, zut, va falloir chercher.

Olivier

[evariste_G]

Si je ne m'abuse, $\displaystyle\sum_{n\geq1}\frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}=\sum_{k\geq2}\frac{1}{k^2-1}=\frac{3}{4}$.
En effet, $\displaystyle\sum_{k\geq2}\frac{1}{k^2-1}=\sum_{k\geq1}\frac{1}{k^2+2k}=\sum_{k\geq1}\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\sum_{k\geq1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$.
J'ai bon ?

[rebouxo]

C'est le passage de la première ligne qui n'est pas clair. Comment tu as fait ?
Olivier

[evariste_G]

Oui, c'est vrai que c'est rapide car je me suis inspiré de ce qui a été dit précédemment.
On constate que $E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=0$ si $n+1\neq k^2$ et, dans le cas contraire, $E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=1$, ce qui nous pousse à écrire (pour $k>0$) : $$\sum_{n\geq1}\frac{E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})}{n}=\sum_{n+1=k^2}\frac{1}{n}. $$
$n+1=k^2$ est vraie à partir de $n+1=4$ (car $n\neq0$), soit à partir de $k=2$, d'où l'égalité : $$ \sum_{n+1=k^2}\frac{1}{n} = \sum_{k\geq2}\frac{1}{k^2-1}. $$

[rebouxo]

Oui, c'est vrai que c'est rapide car je me suis inspiré de ce qui a été dit précédemment.
On constate

Ouaip, je constate moi z'aussi, mais je ne pense pas que cela soit une preuve.

Olivier

[evariste_G]

Oui, c'est vrai que c'est rapide car je me suis inspiré de ce qui a été dit précédemment.
On constate

Ouaip, je constate moi z'aussi, mais je ne pense pas que cela soit une preuve.

Olivier

C'est une disjonction de cas :

1. soit $\sqrt{n+1}\in\mathbb{N}$, auquel cas $\exists k\in\mathbb{N}^*|n+1=k^2$; dans ce cas, $\sqrt{n+1}=k$ et donc $E(\sqrt{n+1})=k$. De plus, $\sqrt{n}\notin\mathbb{N}$ car les deux seuls entiers consécutifs à être des carrés parfaits sont 0 et 1. Or, ici, $n>0$. Donc, nécessairement, $E(\sqrt{n})<E(\sqrt{n+1})$, soit $E(\sqrt{n})<k$, donc $E(\sqrt{n})=k-1$. Par conséquent, $E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=k-(k-1)=1$.
2. soit $\sqrt{n+1}\notin\mathbb{N}$, et dans ce cas, :
   • il se peut que $n=p^2$, auquel cas $E(\sqrt{n})=E(p)=p$ et $E(\sqrt{n+1})=E(\sqrt{p^2+1})=p$ car $\sqrt{p^2}<\sqrt{p^2+1}<\sqrt{p^2+2p+1}$ donc $p<\sqrt{p^2+1}<p+1$. Alors, $E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=p-p=0$.
   • il se peut aussi que $n\neq p^2$. Dans ce cas, $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs non carrés parfaits. Autrement dit : $p^2 < n < n+1 < (p+1)^2$. Alors, $E(\sqrt{p^2}) \leq E(\sqrt{n}) \leq E(\sqrt{n+1}) < E(\sqrt{(p+1)^2})$, soit $p \leq E(\sqrt{n}) \leq E(\sqrt{n+1}) < p+1$. $p$ et $p+1$ étant deux entiers consécutifs, on en déduit alors que $E(\sqrt{n})=p$ et $E(\sqrt{n+1})=p$, soit $E(\sqrt{n+1})-E(\sqrt{n})=0$.

Voilà. Mais bon, c'est sortir le bazooka pour tuer la mouche pour moi.

[rebouxo]

Voilà. Mais bon, c'est sortir le bazooka pour tuer la mouche pour moi.

Euh, non. La preuve cela te prends une dizaine de ligne. Bon, je suis convaincu, maintenant.
Olivier

[evariste_G]

Euh, non. La preuve cela te prends une dizaine de ligne. Bon, je suis convaincu, maintenant.
Olivier

Ouf ! J'ai eu peur de me tromper car écrire une démo sur le net, c'est un peu chiant quand-même... et donc source d'erreur (pour moi).

[rebouxo]

Elle est très bien ta démonstration.
Olivier