Convergence d'une série

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
othiprof
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 52
Inscription : vendredi 03 avril 2015, 12:12

Convergence d'une série

Message par othiprof »

Bonjour à tous,
en supposant la suite $(u_n)$ positive et la série $\sum n^2 u_n^2$ convergente, comment prouver que $\sum u_n$ converge ?
Merci!

OG
Modérateur
Modérateur
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: convergence d'une série

Message par OG »

Il y a des critères, peut-être que l'un s'applique ?

othiprof
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 52
Inscription : vendredi 03 avril 2015, 12:12

Re: convergence d'une série

Message par othiprof »

$0 \le u_n=\sqrt{u_n^2} \le \sqrt{n^2 u_n^2} \le n^2 u_n^2$
Or la série de terme général $n^2 u_n^2$ converge donc, par comparaison des séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.
Pourrait convenir il me semble bien...
Je ne saurais comment vous remercier.

OG
Modérateur
Modérateur
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: convergence d'une série

Message par OG »

Non, l'inégalite $\sqrt{a}\leq a$ est fausse pour $0<a<1$ et c'est ce cas qui intéresse.
Il y a d'autres critères, il faut chercher...
(il y a aussi une autre façon avec une inégalité standard)

O.G.

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3925
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Convergence d'une série

Message par balf »

Puisque la série est à termes positifs, on peut en récrire le terme général
$$u_n=\sqrt{n^2u_n^2\cdot\frac1{n^2}$$ et utiliser l'inégalité moyenne géométrique-moyenne arithmétique.

B. A.

othiprof
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 52
Inscription : vendredi 03 avril 2015, 12:12

Re: Convergence d'une série

Message par othiprof »

Inégalité standard : $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ .

D'où : $u_n=\sqrt{n^2 u_n^2 \frac{1}{n^2}} \le \frac{n^2 u_n^2+\frac{1}{n^2}}{2}$ .

Les séries de termes généraux $n^2 u_n^2$ et $\frac{1}{n^2}$ étant convergentes toutes les deux, la série de terme général $\frac{1}{2}(n^2u_n^2+\frac{1}{n^2})$ est elle-même convergente.
Enfin, par une propriété de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ converge.
J'espère n'avoir pas fait d'erreur, cette fois.
Merci beaucoup.
OL

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3925
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Convergence d'une série

Message par balf »

C'est exactement ça.
B. A.

othiprof
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 52
Inscription : vendredi 03 avril 2015, 12:12

Re: Convergence d'une série

Message par othiprof »

:) ouf, merci!