Intégration terme à terme d'une série de fonctions

[othiprof]

Bonsoir,
me voilà avec une nouvelle question : "Prouver que $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}$".
Alors, j'ai pensé à définir la suite de fonctions $(f_n)_{n \ge 1}$ par :
- pour tout $x$ de ]0, 1], $\displaystyle f_n(x)=\frac{(-x ln(x))^n}{n!}$
- pour $x=0$, $f_n(x)=0$
Ainsi, les fonctions $f_n$ sont continues sur [0, 1], la série $ \sum f_n$ converge normalement sur [0, 1] et, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} f_n(x)=e^{-xln(x)}=\frac{1}{x^x}$.
J'ai donc : $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)dx$.
Piou... D'une part, j'ai un problème d'indice, d'autre part, je ne parviens pas à calculer $\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{(-x ln(x))^n}{n!}dx$.
Une bonne âme, quelque part, aurait-elle une idée ?

[balf]

Eh bien, les primitives $\;\displaystyle I_{m,n}=\int \!x^m\ln^n x\:\mathrm dx$ se calculent récursivement : en posant
$$ u=\ln^n x,\; \mathrm dv=x^m\,\mathrm dx,\enspace\text{d'où }\quad \mathrm du=n\ln^{n-1}x\,\frac{\mathrm dx }{x},\enspace v=\frac{x^{m+1}}{m+1}$$ et donc
$$I_{m,n}=\frac{x^{m+1}\ln^n x}{m+1}-\frac{n}{m+1}I_{m,n-1}.$$ En rajoutant les bornes, on doit pouvoir en tirer quelque chose, non ?

B. A. (acronyme de Bonne Âme ? )

[othiprof]

Formidable!
Grâce à ton idée, j'arrive à : $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^n}$
D'où : $\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx=\frac{1}{(n+1)^n}$
Et enfin :$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^n}$
Ce qui ressemble furieusement à l'égalité qu'il fallait démontrer.
C'est ce problème d'indice... Avec mes $f_n$ qui ne sont définies qu'à partir de $n=1$... Je ne sais pas, j'avoue que je ne vais pas y passer des heures non plus...
En tout cas, merci B. A.

[OG]

Bonsoir

pour $n=0$, $f_0$ est la fonction constante égale à 1, 1er terme du développement de $\exp(x)$.
Question résultat, wolframalpha me souffle pour $n=2$, $\int_0^1 (x\ln(x))^2 dx= 2/27$
ce qui ne semble pas correspondre à ton résultat.

O.G.

[kojak]

Bonjour,

j'arrive à : $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^n}$

Presque c'est $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}}$

[othiprof]

Bonjour,
il va donc falloir que je rejette un oeil à cet exercice.
Merci pour ces pistes!