Polynôme d'un endomorphisme

[othiprof]

Bonjour,
une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...
Dans ce cas, il me semble que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X}$ appliquée à $u$ donne $u^{-1}$...
Mais cette fraction n'est pas un polynôme, je ne pense pas...
Help ?

[kojak]

Bonjour,

une idée pour montrer que, $u$ étant un automorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, $u^{-1}$ est un polynôme en $u$ ?
D'accord, le polynôme caractéristique de $u$ annule $u$, ce qu'on pourrait noter $P(u)=0$...

Oui, et que peux tu dire du terme constant de ce polynôme vu que c'est un auto ? Et quelle est la définition de $u^{-1}$ ? $

[othiprof]

Aaaaaaaah!
Si on note $P$ le polynôme caractéristique de $u$ avec $\displaystyle P(X)=\sum_{i=0}^{n} a_i X^{i}$, on a le terme constant $a_0=(-1)^n det(u)$ et il est non nul car $u$ est un automorphisme.
Ainsi on a : $\displaystyle P(u) = \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i} + (-1)^n det(u) id=0$
D'où : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i}=(-1)^{n-1} det(u) u^{-1} u$
Ou encore : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}=(-1)^{n-1} det(u) u^{-1} $

Et pour finir : $\displaystyle u^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1} $, et c'est donc bien un polynôme en $u$.

C'est bien ça ? Ouh, merci, je pataugeais dans la semoule.
D'ailleurs, je n'ai pas sorti une grosse ânerie en écrivant que la fraction rationnelle $\displaystyle \frac{XP(X)+1}{X} $appliquée à $u$ donnait $u^{-1}$?

[kojak]

C'est bien ça ?

Oui mais j’écrirais plutôt à partir de $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i u^{i} + (-1)^n det(u) id=0$

$\displaystyle u\left(\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}\right) = (-1)^{n-1} \det(u) id$
soit $\displaystyle u\left(\frac{ (-1)^{n-1}}{\det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}\right) = id$ c'est à dire que $u$ est inversible et son inverse est $\displaystyle\frac{ (-1)^{n-1}}{\det(u)}\sum_{i=1}^{n}a_i u^{i-1}$

[othiprof]

Ah oui, bien vu (sans le "=0" dans la deuxième ligne...)
Merci!

[kojak]

(sans le "=0" dans la deuxième ligne...)

Oups, les joies du copier coller, j'ai corrigé, merci.